一道习题的解法赏析与拓展

河北丰宁实验中学刘志新（068350）

一、[引例]已知A、B是双曲线 上异于顶点的两个点且 点P满足

（1）当 且A点坐标为 时，求P点坐标     

（2）若 求                  

（3）求 的最小值。

解：设

 ⑴

又

解①②得

依题意取 则当 时

即P点的坐标为

⑵设

即

又

即

将③代入④并化简得

在,由已知

在由得

设

则

 同理，消去

由于 得， ⑥

把⑥代入化简得 即

说明：1、本题的三个设问相互独立，求解时采取了三个不同的方法。值得注意的是：①求解⑵时，到了 关系处，充分利用了本题设推出的“ 为直角三角形，且 ”这一结构关系，应用 的面积公式，使得问题迎刃而解。②求解⑶时，设L 为x=my+n型方程，使得运算简化，便于求解。

2、由于 只能确定P、A、B共线,即P始终在AB上运动。因此 这一关系可以看作是Rt 在运动中始终保持。基于此点考虑，不失一般性，设问 可有以下解法。

【⑵，⑶解法】之二

如果在a²b²=2（a²+b²）中未内能观察得到

 那么需继续求机解如下。

（2）

易得

又a²b²=2（a²+b²） 代入ta²=（1-t）b²并化简 得

ta²=2  即   故

（3）由 得

即 ≥2 ,(当且仅当t= 时妈等号,此时a=b,AB⊥X轴)

故 的最小值为2 .

【⑵解法】之二

事实上,在提供【⑶解法】之一时,亦可将⑵予以求解.思路是考察P点的轨迹方程.

由            消去参数m,n,可得x²+y²=2

即P点轨迹是:以(0,0)为圆心, 为半径的圆.   故

【⑶解法】之三：因 在Rt 的任意变化时均存在。

又由于a²b²=2(a²+b²)，ab≤

则2(a²+b²)≤( )²

 即a²+b²≥8  (当且仅当a=b时取等号，此时AB⊥X轴)

 故 ≥2

因此故 的最小值为2 。

三、【结论推广】

结论1、若A，B是双曲线 （b>a>0）上两个民于顶点的点，且 =0， 于P，O为坐标原点

则 = ， 的最小值为                

结论2、 若A，B是椭圆 上两个点，且 =0，

于P，O为坐标原点

则 = ， ≥

证：设A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂)

=m, =n, a²+b²=c²

则m²= x +y = x +b²( )= x -b²

n²= x -b²   即x = （m²+b²）   x = （n²+b²）     …………①

又 =0      ∴x₁ x₂₊ y₁ y₂=0

∴x₁² x₂²= y₁ ²y₂²=b⁴+( )( )

化简得， x₁² x₂²  - （x₁² +x₂²）+b⁴=0        …………②

将①代入②并整理得，m² n²= （m²+n²）   …………③

由于在Rt 中， 于P

则

 则由③得     

即m

则由③得， =