高中数学研究性学习初探体会

高中数学研究性学习初探体会

一 正确认识数学中的研究性学习

所谓研究性学习的教学是指老师不应当把知识灌输给学生，而应当积极引导学生，适时地进行点拔、质疑、启发、解惑；从学生角度看，是指学生的学习方法应当是探究的，学生不应当满足于死记硬背，模仿重复，而应当猜测、尝试、质疑、发现。提起研究性学习，人们往往会认为一件很严肃的事情，是为少数优秀学生开设的课程，必须有专门的老师指导，在固定的时间、固定的场所，开设专门课程去进行研究。一部分学校正是这样做的，殊不知，这样的做法恰好违背了教学规律，实际上是重复过去走过的老路，是变相的旧的教学模式，是新瓶装老酒，曲解了研究性学习的本质。实际上数学研究性学习是面向全体高中学生的必修课，它以激发学生主动探索的积极性，培养学生的创新精神为追求目标，鼓励学生介入数学学科前沿的研究，要求学生的研究结果有科学性，但并不强求每个学生的最后研究成果都必须独一无二。研究性课程的意义在于应用、强化研究性学习的方式，以弥补接受性学习方式的不足，并完成从一味研究“如何教”，到关注学生“如何学”的教育思想的转变。而在这种观念下知识本身的获得不是最重要的，重要的是如何获得知识及在获得的过程中开发出来的各种潜能。

 中学生蕴藏着极为丰富和巨大的创造潜能，关键是我们的教育能否营造适合他们发展的环境，能否为他们创设发展的空间，提供更多发挥其创造潜能的机会。如果我们这样做了，我们的中学生对社会的回报将是无法估量的，让我们为学生提供更多的发展机会，使他们能够发挥自己的聪明才智，展示自己的才华。当前，中学数学教学中存在着老师把学生当成知识容器，一味地灌输的不良倾向，看起来讲了不少知识，实际上这些知识并没有被学生所接受，为了提高教学效率，应当在课堂上开展研究性学习的教学。设置研究性学习的目的在于改变学生以单纯地接受教师传授知识为主的学习方式，为学生构建开放的学习环境，提供多渠道获取知识、并将学到的知识加以综合应用于实践的'机会，培养创新精神和实践能力。

二 研究性学习的基本结构

根据数学科的学科特点和高中学生的年龄特点，数学研究性学习的基本结构可以是：

1、引入：教师围绕教学内容，根据教学进度，提出一些有价值的、具备研究条件的课题。目的是使学生明确目标，激发学习兴趣和求知欲望。数学研究性学习的课题不仅仅是教师提供，还应鼓励学生通过思考、调查、查阅资料等方式概括出问题，甚至可以通过日常生活情景提出数学问题，进而提炼成研究性学习的课题。

2、独立探究：在研究性学习的过程中，学生是学习的主人，是问题的研究者和解决者，是主角，而教师则在适当的时候对学生给予帮助，起着组织和引导的作用。在这一过程中，要给学生充分的时间让学生自己寻求答案，教师可以巡视，并且尽量鼓励学生按照不同的方案寻求答案，教师还要在这一学生独立探究的过程中掌握学生存在的疑难问题和不足之处。

3、分组讨论：对学生独立探究中的困惑问题以及重点、难点、疑点，教师不要急于讲解、回答，要让学生调整自己的认识思路，以小组的形式引发学生各抒己见，展开讨论或辩论，激发学生浓厚的学习兴趣。在讨论过程中对积极发言的学生予以表扬，对有独到见解的给与肯定，鼓励。

4、总结、引申：就是对讨论的结果进行归纳整理，巩固深化所学知识。教师可以让各个小组的代表谈本组的解题方法、学习体会、学习心得，谈学习中应注意的问题等等，教师再予以“画龙点睛”。这一过程可以运用多媒体等手段把各种正确的思路反映出来，以达到全般共同学习、共同进步的目的。最后教师可以在总结引申的基础上在提出一些延续性的问题，供学生进一步思考和理解。

三 研究性学习实例

例1   求  的值.

这是高三阶段检测试卷中的一道题，在研究性学习中，教师让学生说自己的解题方法，一共归纳整理了以下几种不同的解法：

方法1  原式=    =    =   = 

方法2  原式=    =    = 

方法3 （原式）   =    =· ∴原式= 

方法4  原式= ＝ ＝

方法5  cos15°＝cos(45°－30°)＝ ，同理 sin15°＝  ，代入原式计算得 .

归纳完之后, 教师并不忙于结束，而是请同学讲讲自己的解题想法，由同学对每种解法进行评价.在评价比较的过程中，同学们加深了对相关知识方法的理解记忆和灵活的运用，同时他们相互之间也进行了一次思想交流.紧接着教师提出下面问题让学生作进一步的思考:

1、若把15°换成a，上面的解法中，哪些还“有效”? 学生尝试发现，除方法5其它都还是可用的，从而总结出这类问题的一般性解法.

2、还有其他解法吗?多数学生苦思不得其解.此时教师要给予适当的提示：所给的式子与什么公式的结构形式相象？经过一段的思考，有的学生联想到了坐标平面上两点连线的斜率公式.对!教师及时给予肯定，再进一步鼓励学生画出示意图，并认真观察分析，教师予以巡导，最后在大家共同努力下得出了如下的解法：

方法6     若改写成   ，则可以看成点 和点  连线的斜率，此时点M，N在单位圆上，经过角的计算可得  .

于是 。

 

例2   如图，已知平行六面体  —  的底面  是菱形，且   （1）证明：    

（2）假定CD=2，CC  =  ，记面C  BD为  ，面CBD为  ，求二面角  —BD—  的平面角的余弦值

（3）当  的值为多少时，能使A  C  平面C  BD？请给出证明

解：连结A  C   、AC ，设AC与BD相交于点O，连结C O

（1）∵ABCD为菱形  AC  BD

  又∵  ，则C  在面ABCD内的射影H必在  的平分线AC上

   即C  H  面ABCD

···      BD  C  H

· BD  面ABCD      ∵BD  AC· BD  面CC  A  A

···     C H∩AC=H···· BD  CC

·····      ∵CC    面CC  A  A

（2）易知  C  OC是二面角  —BD—  的平面角

在  C  CB中，C  C=  ，BC=2， C  CB=  ，由余弦定理BC  =

又∵菱形ABCD的内角  BCD=60  ，∴  BCO=

在Rt  BOC中，BO=  BC=1，∴C  O=

在  C  OC中，C  O=C  C=  ，OC=  ，由余弦定理  C  OC =

（3）当  =1时，能使A  C  平面C  BD

理由：∵  =1    ∴ BC=CD=CC  

······ BD=C  B=C  D

又 

∴三棱锥C—C  BD是正三棱锥

设A  C与C  O相交于G， ∵A C  ∥AC 且A  C  ：OC=2：1

∴C  G：GO=2：1

又C  O是正三角形C  BD的BD边上的高和中线

∴点G是正三角形C  BD的中心

∴CG  面C  BD 即A  C  面C  BD

这是2003年全国 高考的题，很多学生对标准答案的“猜想法”有颇多争议，有点“不服气”：倘若不知道结果，我们该怎么猜想？为此，我指导学生对这一问题进行了一次研究行学习：咱们不猜想，看谁能把它计算出来？结果，同学们共同研究出了以下方法：

另解：设C  C=1，CD=x

∵  BCD=  C  CB=  C  CD=60  ，易算出cos  C  CA=

∴cos  CC  A=

C  D  =C  C  +CD    C  C×CD×cos  C  CD = x    +1

∴C  O  =C  D  —OD  = （x    +1）—（  x）  =

∵  BCD=60    ∴  CDA=120

∴AC=     ∴CO=· A  C  =

CA    =CC    +C  A    —2CC  ×C  A  ×cos  CC  A  = 

又∵  C  A  G ∽   COG 且相似比为2：1

故C  G =   C  O·  A  G =   CA

∴C  G   =   C  O   =   （  ）

∵CA  ⊥面C  BD   ∴CA  ⊥CA   ∴ C  A    ＝C  G  ＋A  G

∴（  ）  ＝  （  ）＋  （  ）

∴

∴·    （舍）

故当  =1时，能使A  C  平面C  BD

当然，研究性学习必须服从于教学内容，必须服务于学生的认知结构。我们在实施研究性学习的过程中，既要克服“填鸭式”教学的倾向，又要克服把研究性学习变成学科竞赛的倾向。课堂教学中，教师若能把知识教学与研究性学习的教学有机地结合在一起，则能取得二者相得益彰，共同发展的理想效果。

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