浅析条件概率的论文

论文范文 时间:2019-09-12 我要投稿
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  摘要:条件概率是概率论基础知识中的一个基本概念,是积事件概率和全概率公式的基础,但这一概念往往不被学生所重视,以至于影响到后面的教学效果。本文就这一概念教学进行了初步研究,并给出条件概率p(a/b)中,当p(b)=0时的一些有趣结论,旨在开阔学生的视野。

  关键词:条件概率;概率;随机试验;事件;抽签

  在多年的概率论教学过程中,笔者感觉到学生难以清楚地理解条件概率、积事件概率、全概率公式等概念,特别是在求解有关问题时,往往无处着手,出现思维障碍,从而影响了学生的学习积极性。究其原因,基本上是对条件概率概念没有很好地理解;在教学过程中,教师也没有引起重视,一笔带过,而把重点放在全概率公式上,学生处于被动的学习状态。笔者拟就这一问题的教学作如下研究。

  首先,有必要弄清楚p(a/b),p(ab),p(a)这三者之间的区别与联系。

  一是条件概率p(a/b)与概率p(a)的区别。

  每一个随机试验都是在一定条件下进行的。设a是随机试验的一个事件,则p(a)是在一定条件下事件a发生的可能性的大小。而条件概率p(a/b)是指在原条件下又添加“事件b发生”这个条件时,事件a发生的可能性大小,即p(a/b)仍是概率,p(a)与p(a/b)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概率,在数值上一般也不相等。(注:“事件b发生”特指读者已经知道事件b发生,而实际上事件b往往在事件a发生之前发生,但也可以在事件a发生之后发生,如例1中求p(a1/a2a3),只是读者还不知道事件a已发生,用p(a/b)来估计事件a发生可能性的大小。

  例1:5个签中的2个是“有”,3个是“无”,无放回地顺次抽取,每人抽一个,用ai表示第i个人抽到“有”这一事件,则p(a2)===,p(a2/a1)=。

  二是条件概率p(a/b)与概率p(a)的数量关系。

  条件概率p(a/b)是在原随机试验条件下又添加“事件b发生”这个条件时事件a发生的可能性大小,是否一定有p(a/b)≥p(a)呢?

  1.当a、b互不相容时,a发生时b不发生,则p(a/b)=0≤p(a);

  2.当a?奂b时,p(ab)=p(a),p(a/b)==≥p(a);

  3.当a、b既不是互不相容,又不是包含关系时,因p(a/b)=,大于、等于、小于p(a)三种可能都有,如p(a)=0.5,p(b)=0.4,当p(ab)=0.30时,p(a/b)=0.75>p(a);当p(ab)=0.20时,p(a/b)=0.5=p(a);当p(ab)=0.10时,p(a/b)=0.25 三是条件概率p(a/b)与积事件的概率p(ab)的区别。

  这两个概念从形式上看是容易区分的,但对于初学者来说很容易混淆,有必要强调一下。条件概率p(a/b)是指事件b发生这个条件下事件a发生的概率,而p(ab)是指a、b同时发生的概率。因而“事件b发生”在p(a/b)中是作为条件,而p(ab)中是作为结果,所以两者不相同。

  例2:某班有男学生40人,女学生20人,通过英语六级者有15人,其中有女学生10人。在该班级中任意抽取一人,分别计算:

  1.求所取的学生为女学生并且已通过英语六级的概率;

  2.已知所取的学生为女学生,求其通过英语六级的概率。

  解:设a={所取的学生已通过英语六级},b={女学生},则(1)为求事件a、b的积事件的概率p(ab)==;(2)为求在事件b发生条件下事件a发生的条件概率p(a/b)==。

  其次,要深刻理解当p(b)>0时,条件概率公式p(a/b)=的意义。

  一是要从理论上推出该公式非常困难,但从事件a、b的文氏图可直观地解释一下该公式,把p(a)看成为a的面积与必然事件ω的面积的比值,那么,p(a/b)为在b发生条件下a发生的概率,可理解为ab的面积与b的面积的比值,分别除以ω面积,即得条件概率公式p(a/b)=,可以让学生从心理上接受它并加深印象,而公式本身已证明是成立的,只要加以说明就行,这样可起到降低难度的作用。公式给出了计算条件概率的一种方法。

  例3:某种品牌的彩色电视机使用寿命10年的概率为0.9,而使用寿命15年的概率为0.5,试求某台电视机已经使用10年的情况下,能再使用5年的概率。

  解:设b={电视机使用寿命10年},a={电视机使用寿命15年},则p(a)=0.5,p(b)=0.9因为a发生必然导致b发生,即b?劢a,p(ab)=p(a)=0.5,p(a/b)===。

  二是该公式的作用不仅仅用来计算条件概率,而且条件概率往往也可以直接算得,更重要的作用是用来计算积事件ab的概率,p(ab)=p(b)p(a/b)这就是我们所说的乘法公式。

  例4:在例1中,计算p(a1a2)=p(a1)p(a2/a1)=×=,p(a2)=p(a1a2+a1a2)=p(a1)p(a2/a1)+p(a1)p(a2/a1)=×+×=,同理可得p(a3)=p(a4)=p(a5)=,这道题目的解答也说明了这样一个问题:无放回抽签不分先后,各个人抽到好签的可能性是一样的,不必为轮到后面而不高兴,关键的问题是操作规则要公正。也许会问前面的人好签抽走了,最后面的人还会有吗?那么要是前面的人没有全部抽走好签,最后面的人不是肯定能抽到好签吗?以上两种情况都属于条件概率。

  如果没有这个乘法公式,计算p(a1a2)难度就大得多了,得考虑两个“好签”给5个人中的两个人抓到共有几种方法?是用排列数计算呢,还是用组合数计算呢?每种方法是否等可能的?要仔细分析一下,最后得:p(a1a2)===。

  再次,条件概率公式为全概率公式的计算奠定了基础,从而解决了事件概率的计算问题。

  一般教材都给出条件概率p(a/b)中p(b)必须大于0,那么当p(b)=0时,p(a/b)是否有意义呢?

  显然条件概率公式是不能用了,当a、b所在的事件空间 ω中的基本事件个数为有限个时,由p(b)=0,可得b所包含的有利事件个数为0个,由p(a/b)的含义得a的有利事件个数也为0个,所以,这时规定p(a/b)=0较妥当。而当ω为无限集时,情况比较复杂。现举例如下:

  当a、b所代表的事件互不影响时(具体情况时容易判断的),规定p(a/b)=p(a);当b?奂a时,b发生可推出a发生,这时p(a/b)=1;当a、b是互斥事件时,b发生时,推出a不发生,得p(a/b)=0;当b为不可能事件时,讨论p(a/b)实际上是无意义的,在不可能事件b发生条件下a发生的概率,这句话本身就是相悖的,但为统一起来,可定义p(a/b)=0;当a、b是互不包含事件时,情况比较怎复杂,视具体情况而定。

  例5:质点m随机地均等抛掷到﹝-1,+1﹞区间上,记a={质点落在﹝0,1﹞区间上},b={质点恰好落在点处},b1={质点落在-1,0,,1这四点处},b2={质点落在﹝0,1﹞区间上的有理数点处},则p(a/b)=1,p(b/b1)=,p(b1/b2)=0。

  参考文献:

  [1]杨义群.初等概率教学中定义条件概率的二个问题探讨[j].教学与研究(中学数学),1984,(4):3.

  [2]谢国瑞.概率论与数理统计[m].北京:高等教育出版社, 2002.

  [3]王潘玲.应用高等数学[m].杭州:浙江科学技术出版社,2004.

  [4]曹之江.现代数学优教原理探索[j].数学教育学报,2004,(2):1-2.