关于动柔度矩阵迹范数的悬架多目标评价分析论文
1引言
悬架系统是车架与车轴之间力的传递连接装置。悬架除了传递力之外，还应具备乘坐平顺性、操作稳定性和行驶安全性等重要指标。根据汽车整车性能对悬架的要求，通常用以下三个指标来评价悬架的优劣，即：车身加速度(或位移)与路面外扰之比用来评价乘坐平顺性;悬架动挠度与路面外扰之比用来评价操作稳定性;车轮动载(动变形)与路面外扰之比用来评价行驶安全性。
对悬架评价与优化设计时，希望这三个指标在全频段都尽可能的小，但在客观上他们存在矛盾：当一个指标变小时，会牺牲其它两个指标变大为代价。近年来，研究悬架的多目标评价与优化的方法很多，文献基于轴距预测方法对悬架进行多目标控制;文献设计了多目标免疫算法，从而改善了悬架的平顺性和操纵稳定性;文献中基于遗传算法、文献基于模糊控制器对悬架进行了多目标评价与优化。但基于动柔度矩阵的迹范数的悬架系统的多目标评价，在国内外文献中还鲜有提及。基于动柔度矩阵迹范数对悬架的综合性效能进行评价，从而优化悬架的综合性能。
2汽车四分之一悬架效能评价指标
2.1汽车四分之一悬架动力学方程
具有独立悬架汽车的四分之一物理模型。具有两个自由度：车身垂直位移和悬架下质量的垂直位移。
对于汽车四分之一悬架，其运动方程可写为：
mqsz咬s=c(sz觶u-z觶s)+k(szu-zs)muz咬u=k(tzb-zu)+c(sz觶s-z觶u)+k(szs-zu!###"###$)(1)
式(1)进行傅里叶变换得：
-ω2mqsZs=jωc(sZu-Zs)+k(sZu-Zs)-ω2muZu=k(tZb-Zu)+jωc(sZs-Zu)+k(sZs-Zu%)(2)
式中：Zs、Zu、Zb-zs—zs、zu、zb的傅里叶变换对。
2.2悬架的平顺、稳定及安全性效能评价指标
由式(2)可得出车身位移与路面外扰之间的频响函数：
Hsb=ZsZb=a1ω+a0ω4+a3ω3+a2ω2+a1ω+a0(3)
式中系数：a3=-iξ(1+α)，a2=-[β/α+β+1]ω22，a1=iξω22，a0=ω21，ω22。而ω21=ks/mqs、ω22=kt/mu是名义固有频率;ξ=cs/mqs是悬架的阻尼质量比;α=mqs/mu是质量比;β=ks/kt是悬架与轮胎的刚度比。由式(2)也可得出悬架动挠度与路面外扰之间的频响函数：
H1b=Z1Zb=Zu-ZsZb=ω22ω2ω4+a3ω3+a2ω2+a1ω+a0(4)
由式(2)还可得出车轮动变形与路面外扰之间的频响函数：
H2b=Z2Zb=Zb-ZuZb=ω4+a3ω3+(a2-ω22)ω2ω4+a3ω3+a2ω2+a1ω+a0(5)
在全频段范围内由式(3)、式(4)、式(5)可对应的给出乘坐平顺性、操作稳定性和行驶安全性三个评价指标：
Qsb=∞乙0Hsbdω(6)
Q1b=∞乙0H1bdω(7)
Q2b=∞乙0H2bdω(8)
式(3)~式(5)给出的频响函数的幅值包围的面积越小则它们对应的平顺性、操作稳定性和行驶安全性越好。由式(3)~式(5)不难发现：
Hsb+H1b+H2b=1(9)
式(9)可以解释为什么当一个指标变小时，其它两个指标变大的原因。因此，应用式(6)~式(8)对悬架进行优化(找出最优的α、β、c)s很不方便。
3关于动柔度矩阵的迹范数讨论
式(1)的联立方程可写成矩阵形式：x觶q=Aqxq+uq(10)其中，xq=(zsz觶szuz觶u)T，式中：Xq、Uq—xq、uq的'傅里叶变换对;Hq—动柔度矩阵，其表达式为：Hq=[iωI-Aq]-1(12)动柔度矩阵Hq的迹Hrtq定义如下：Htrq=trace(Hq)=-(i4ω3+3a3ω3+2a2ω+a1)ω4+a3ω3+a2ω2+a1ω+a0(13)式中：trace(Hq)—矩阵Hq的迹，系数a0~a3同式(3)。式(3)~式(5)及式(13)有相同分母是因为四分之一悬架系统的固有频率信息包含在了分母中。系统动柔度矩阵的迹等于各个解耦动柔度函数叠加，即：Htrq=2Σj=11iω+i覣j-ζj/2+1iω-i覣j-ζjΣ/2Σ=-(i4ω3+3b3ω3+2b2ω+b1)ω4+b3ω3+b2ω2+b1ω+b0(14)
在全频段范围内，若系统的动柔度矩阵在某种矩阵范数下尽可能的小，则对于给定的输入Fq，输出也Zq会在某种向量范数下尽可能的小。对于动柔度矩阵Hq定义下面这样一种范数：Qtrq=Hq=∞乙0Htrqdω(15)即可以用动柔度矩阵的迹Htrq的幅值包围的面积来评价多自由度系统的防振效能，面积越小其防振效能越高，Qtrq称作动柔度矩阵的迹范数。由式(15)可知，为使Qtrq最小，则Htrq取最小值，由式(14)可知：Htrq=2Σj=11iω+iω軍j-ζj/2+1iω-iω軍j-ζjΣ/2軍≥22仪j=11iω+iω軍j-ζj/2+1iω-iω軍j-ζj姨Σ/2軍(16)当且仅当±i覣1+ζ1/2=±i覣2+ζ2/2时，当两个解耦共轭复频率相等时，|Htrq|取最小值，进而会使得Qtrq最小，此时对应的悬架阻尼系数为：cs=2εεk姨tmu(19)当两个解耦共轭复频率相等时，由式(18)得：β=α(/1+α)2(20)4四分之一悬架防振效能分析工程实际中更关心式(6)~式(8)与式(15)在一定的频段范围内(ωa~ωb)幅值曲线包围的面积，故可改写为：Q=ωb乙ωaHdω≈ΣωbωaH(ωi)Δω(21)为了找出式(6)~式(8)与式(15)中幅值曲线包围的面积随ε的变化规律，这里结合一个实例进行分析：设悬架下质量mu=100kg，轮胎刚度kt=200kN/m，ωa=0.2π，ωb=200π，Δω=0.2π。当两个解耦固有复频率相等时，根据式(18)~式(21)，表中给出了不同ε对应的Qsb、Q1b、Q2b、Qtrq、η、α、β、cs数值。当两个解耦固有复频率相等时，给出了悬架的舒适、稳定及安全评价指标Qsb、Q1b、Q2b分别随ε(或η)的变化曲线，ε增大(或η减小)，Qsb、Q1b、Q2b减小，这是因为ε、η分别反映了悬架阻尼、刚度特性，较大悬架阻尼较小悬架刚度可以改善悬架的舒适、稳定及安全性。
动柔度矩阵的迹范数Qtrq分别随ε(或η)的变化曲线，ε增大(或η减小)，Qtrq先减小后增大，其最小值在ε0≈0.56、η0≈0.34处，此时对应的α、β、cs为α0、β0、cs0，表1虚线左侧为小于ε0，右侧大于ε0;α、β、η、cs随ε的变化曲线。
实心圆点与表1中数值相对应。为Htrq的幅值曲面(ε∈(0，0.8)，f∈[0.1，100])。可见，当两个解耦固有复频率相等时，对于给定的ε对应的Htrq都是单峰值曲线，随着ε的增加，固有频率变小，固有频率处的峰值也变小，但低于固有频率的幅值变大。当两个解耦固有复频率不一定相等时，此时式(20)不一定成立，Qtrq随α、β的变化曲面。可知：在悬架阻尼系数小于cs0的情况下，Qtrq在α、β满足式(20)才能取到最小值;当悬架阻尼系数大于cs0时，五角星位置不再是Qtrq最小值的位置，而是图中实心圆点位置，此时Qtrq最小值对应的α、β为α0、β0。
4结论
主要介绍了应用基于动柔度矩阵的迹范数评价悬架效能，综合全文有以下重要结论：
(1)系统动柔度矩阵的迹等于各个解耦动柔度函数叠加，当且仅当两个解耦固有复频率相等时，动柔度矩阵的迹范数取最小值;
(2)当两个解耦固有复频率相等时，悬架的舒适、稳定及安全性评价指标Qsb、Q1b、Q2b随着ε的增大(或η减小)同时变小(好)。
(3)基于悬架动柔度矩阵的迹范数，除了可以用来对悬架效能进行评价，还能对悬架性能进行优化，并且可以很方便的拓展到半车悬架和整车悬架的效能评价与优化。
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