高二数学

高二数学 直线l：y=ax+1 与双曲线C： 3x^2 - y^2 = 1 相交于A. B 两点.
(1)a为何值时,以AB 为直径的圆过原点;
(2)存在这样的实数a, 使A, B 关于直线x-2y=0对称,求a的值 , 若不存在,说明理由.
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参考案 [解]：（1）由 y=ax+1及3x^2-y^2=1可得：（3-a^2）x-2ax-2=0 (1)
由题意知：3-a^2≠0且△＞0得- √6＜a＜√6 且a≠± √3（2）
故当- √6＜a＜√6 且a≠± √3时，直线与双曲线有两个交点，
设A(x1,y1),（x2,y2），则x1+x2=2a/3-a^2 ，x1x2= -2/3-a^2
因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，
而y1y2=(ax1+1)(ax2+1)故（a^2+1)x1x2+a (x1+x2)+1=0,所以（a^2+1）又-2/3-a^2 +a又2a/3-a^2+1=0
从而a=±1满足

(2)
假设存在实数a，使A、B关于直线x-2y=0对称
则直线y=ax+1与直线x-2y=0垂直，
所以a=-2,故直线l的方程为y=-2x+1，
将a=-2代入x1+x2=2a/3-a^2得x1+x2=4
所以AB中点横坐标为2，纵坐标为y=-2×2+1=-3，而AB中点（2，-3）不在直线x-2y=0上
故不存在实数a满足题意。
该回答在2月16日 8:33由回者修改过