函数

函数 10、已知函数 的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线 与曲线C交于不同于P的两点 ，且恒有 为定值 ，则 的值为（ ）   题补充：
已知函数f(x)=x^3/3+x^2+x 的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线 与曲线C交于不同于P的两点M(x1,y1)N(x2,y2) ，且恒有y1+y2=y0,y0 为定值 ，则 y0的值为（ ）

参考案 已知函数f(x)=x³/3+x²+x 的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线 与曲线C交于不同于P的两点M(x1,y1)N(x2,y2) ，且恒有y1+y2=y0,y0 为定值 ，则 y0的值为（ ）

f(x)=x³/3+x²+x=(1/3)(x³+3x²+3x+1-1)=(1/3)(x+1)³-(1/3)
--->f(x)+1/3 = (1/3)(x+1)³
--->f(x)的图像关于定点P(-1,-1/3)对称
--->y1+y2=y0=2(-1/3)=-2/3

其他回   如果一眼看不出f(x)+1/3=(1/3)(x+1)^3关于P(-1,1/3)对称,
可用下面方法推出.当然写得多一点.

设存在一定点P(α,β),
过P的直线方程:y=kx+β-kα,
与曲线C交于不同于P的两点M(x1,y1)N(x2,y2),
==>
α,x1,x2为下面方程的3个根,
x^3/3+x^2+x=kx+β-kα,
根据根与系数的关系得,
-3=α+x1+x2
==>
y0=y1+y2=kx1+β-kα+k2+β-kα=
=k(-3-α)+2β-2kα=k(-3-3α)+2β
由于y0为定值,所以和k无关
==>
-3-3α=0,β=α^3/3+α^2+α
==>
P(α,β)=(-1,-1/3),
y0=2β=-2/3.