立体几何难题（典24-11）

立体几何难题（典24-11） 在梯形ABCD中，AB=BC=1,AD=2,∠CBA=∠BAD=90度。沿对角线AC将△ABC折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上。
（1） 求证：AB⊥平面BCD；
（2） 求异面直线BC与AD所成的角。
   题补充：
请写出详细解过程

参考案 (1) 如图所示：在平面图中AC=CD=√2, AD=2, 由勾股定理AC⊥CD.点B在平面ACD内的射影O恰在AC上, ∴ BO⊥面ACD, ∴ 面ABC⊥面ACD,
面ABC∩面ACD=AC, ∴ CD⊥面ABC, ∴ CD⊥AB,△ASC是等腰Rt△,
∴ AB⊥BC, ∴ AB⊥平面BCD
(2) 作DE∥BC,CE∥AD, 则(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.在平面图中M是BC的中点,由勾股定理得OE²=26/4, ∴ BE²=7. 在△BCE中,由余弦定理,得cos∠BCE=-1/2, ∠BCE=120°,∴ 异面直线BC与AD所成的角为 60° screen.width*0.35) this.width=screen.width*0.40">

其他回   (1) BO垂直平面ACD 得到BO垂直CD 又因为CD垂直AC 所以CD 垂直平面ABC 所以AB垂直CD 又因为AB垂直BC. 所以AB垂直平面BCD


(2) 60度 1、设BE⊥AC，交AC于E，即E为点B在平面ACD内的射影。
AB=1，BC=1，
所以，AC=根2。
不难求出CD=根2，结合AD=2，可知角ACD为90度。
即CD⊥AC，
又CD⊥BE，
所以CD垂直面ABC，可知AB垂直CD。又因为角ABC=90度，即AB⊥BC
故AB⊥面BCD；
2、因为在梯形中，AD平行于BC
所以异面直线BC和AD所成的角可转化为三角形BCB（第一个B为梯形中的点B，第二个B为折后的点B，我们把第二个B记为F）即三角形BCF，而所求的异面直线所成的角即可以转化为BC与CF之间的夹角
BE=EF=（根2）/2，所以BF=1，又因为BC=CF=1，所以此夹角为60度。