代数证明题-1

代数证明题-1 40分 回：3   浏览：35   提时间：2008-07-18 08:35 代数证明题
求证: √1+√2+√3+…+√99+√100<672。
2008-07-19 05:56 提高悬赏40分 共2条评论... 参考案 此案由提问者自己选择，并不代表爱知识人的观点 揪错 ┆ 评论 ┆ 举报
maxabc55
[大师] 代数证明题
求证: √1+√2+√3+…+√99+√100<672。 (1)
证明 我们用待定系数法给出一个近似值的上界估计.
引理 对于任意自然数n，有
√1+√2+√3+…+√n<[(4n+3)√n]/6-1/6。 (2)
用数学归纳法容易证明不等式(2)。
在(2)式中取n=100，得 [403*10-1]/6=1343/2=671.5<672。
所以√1+√2+√3+…+√99+√100<672得证。 回：2008-07-18 12:24 提者对案的评价： 谢谢！厉害！ 共7条评论... 其他回 共2条回 评论 ┆ 举报
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[新手] √1+√2+√3+...................√99+√100
=1+√2+√3+.............√99+10
=(1+10)*100/2
=1100/2
=550
550<672
√1+√2+√3+...................√99+√100<672 回：2008-07-18 09:09
修改：2008-07-18 09:12 共6条评论... 评论 ┆ 举报
9inarow
[大师] 对k=1,2,...,100,
∫(k-1--->k) √xdx-√(k-1)=(2/3)[k^(3/2)-(k-1)^(3/2)]-(k-1)^(1/2)=(2/3)*[k^(3/2)-((k-1)^(3/2)+3/2(k-1)^(1/2))]
=(2/3)*[k^(3/2)-(k-1)^(1/2)*(k-1+3/2)]
=(2/3)*[k^(3/2)-(k-1)^(1/2)*(k+1/2)]
=(2/3)*[k^(3/2)-(k-1)^(1/2)*((k+1/2)^2)^(1/2)]
=(2/3)*[(k^3)^(1/2)-(k^3-3/4k-1/4)^(1/2)] (分子有理化)
>(2/3)*[3k/4+1/4]/[2k^(3/2)]>1/[4k^(1/2)]
因此
∫(k-1--->k) √xdx>√(k-1)+1/[4k^(1/2)]
∫(1--->100) √xdx>√1+√2+...................√99+(1/4)*[1/√2+1/√3+..+1/√100]
即666>(√1+√2+...................√99+√100)-10+(1/4)*[1/√2+1/√3+..+1/√100]
但 用数学归纳法易证1/√2+1/√3+..+1/√n>√(4n+3)-√7 (请参见maxabc555的证明：http://iask.sina.com.cn/b/13166906.html)，因此1/√2+1/√3+..+1/√100>17

所以√1+√2+√3+…+√99+√100<666+10-(1/4)*17=671.75<672. 回：2008-07-18 12:07 共0条评论...