几何-不等式

几何-不等式 10分 回：1   浏览：27   提时间：2008-07-15 14:31 几何-不等式
求证三角形三条角平分线的乘积小于三条边的乘积。
2008-07-15 22:06 提高悬赏10分 共0条评论... 参考案 此案由提问者自己选择，并不代表爱知识人的观点 揪错 ┆ 评论 ┆ 举报
maxabc55
[大师] 求证三角形三条角平分线的乘积小于三条边的乘积。

证明 设△ABC三边长为BC=a,CA=b,AB=c, 对应的角平分线分别为wa,wb,wc,S表示△ABC面积。则
wa*wb*wc=[abc(a+b+c)*S]/[(b+c)*(c+a)*(a+b)]
欲证abc>wa*wb*wc，即证
(b+c)*(c+a)*(a+b)>4(a+b+c)*S
只需证 2abc>(a+b+c)*S>
<==> 4R>s [其中s为半周长,R为外接圆半径]
设a=max(a,b,c),4R>2a>s。
备注:实际上有更强不等式 abc>=[8/(3√3)]*wa*wb*wc.

另证 设△ABC中，AD是分角线，AD交△ABC外接圆另一点为H，
则有AB*AC=AH*AD>AD^2，
所以 bc>(wa)^2,ca>(wb)^2,ab>(wc)^2，
故abc> wa*wb*wc成立。


回：2008-07-15 20:25
修改：2008-07-15 20:30 提者对案的评价： 证得好！ 共1条评论...