江苏高考附加题
冲刺一模附加题训练一
1.矩阵与变换
?m0?
设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵M=??(m>0)对应的变换作用下得到的曲线为n1??
x2+y2=1，求矩阵M的逆矩阵M-1．
【解】设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P(x,y)在矩阵M对应的变换下的像是
P'(x',y'),
?x'??m0??x??mx??x'=mx，
由??=第一文库网?,得 =??????''?y??n1??y??nx+y??y=nx+y，
因为P'(x'，y')在圆x2+y2=1上,所以(mx)+(nx+y)=1，化简可得
2
2
(m2+n2)x2+2nxy+y2=1．??????????3分
依题意可得m2+n2=2，2n=2，m=1，n=1或m=-1，n=1而由m>0可得m=1，n=1．???6分
?10??10?-1
故M=?,M=??-11?．??????????????????10分 11????
2.坐标系与参数方程
在平面直角坐标xOy中,已知圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x-2)2+y2=4． （1）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1,C2的极坐标
方程及这两个圆的交点的极坐标； （2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
【解】（1）圆C1的极坐标方程为ρ=2， 圆C2的极坐标方程为ρ=4cosθ，
?ρ=2，由?
?ρ=4cosθ
得ρ=2，θ=±
π3
，故圆C1，C2交点坐标为圆
，2，-)．???????5分 )(2(33
（2）由（1）得，圆C1，
C2交点直角坐标为(1，(1，，
??x=1，故圆C1与
C2的公共弦的参数方程为? ????????10分
y=t(t．??
注：第（1）小题中交点的极坐标表示不唯一；第（2）小题的结果中，若未注明参数
范围，扣2分．
3.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A1B=2．
（1）求棱AA1与BC所成的角的大小；
（2）在棱B1C1上确定一点P，使二面角P-AB
-A1．
【解】（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则 C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，
C1
B1
A1
AA1=(0，2，2)，BC=B1C1=(2，-2，0)．
1cos?AA1，BC?===-，
2AA1?BC
故AA1与棱BC所成的角是． ?????????4分
3（2）P为棱B1C1中点，
设B1P=λB1C1=(2λ，4-2λ，2)． -2λ，0)，则P(2λ，设平面PAB的法向量为n1=(x,y,z)，AP=(2λ，4-2λ，2)，
C1
AA1?BC
C
A
（第3题）
??n?AP=0，?x+3y+2z=0，?z=-λx，则?1 ????
?2y=0?y=0．??n1?AB=0
故n1=(1，0，-
λ)?????????????????8分
而平面ABA1的法向量是n2=(1，0，0)，则cos?n1,n2?=解得λ=
n1?n2=，
n1?n21
，即P为棱B1C1中点，其坐标为P(1???????10分 ，3，2)．2
4．设b>0，函数f(x)=(ax+1)2-x+lnbx，记F(x)=f'(x)（f'(x)是函数f(x)的导
2abbb函数），且当x = 1时，F(x)取得极小值2． （1）求函数F(x)的单调增区间；
（2）证明[F(x)]-F(xn)≥2n-2(n∈N*)．
n
【解】（1）由题F(x)=f'(x)=1?2(ax+1)?a-1+1=1ax+1，x>0，b>0．
2abbbxbx于是F'(x)=1a-12，若a<0，则F'(x)<</p>
0，与F(x)有极小值矛盾，所以a>0．
bx令F'(x)=0，并考虑到x>0，知仅当x=时，F(x)取得极小值．
()
()
=1，所以解得a=b=1．??????????????????4分
?(a+1)=2，?b+∞)． 故F(x)=x+1(x>0)，由F'(x)>0，得x>1，所以F(x)的单调增区间为(1，
（2）因为x>0，所以记g(x)=[F(x)]
n
-F(x)=[F(x)]-F(x)=x+x
n
n
n
()-(x+x)
n
n
n
n-1n-2n-3-1=C1?+C2?2+C3?3+??????+Cnnxnxnxnx?n-1 xxxx
n-r-rr因为Cr?+Cn，2，L，n-1)， nxnx?n-r≥2Cn(r=1xx23n-1n
所以2g(x)≥2(C1n+Cn+Cn+??????+Cn)=2(2-2)，故
[F(x)]
n
-F(xn)≥2n-2(n∈N*)．???10分
冲刺一模附加题训练二
1. 已知矩阵M=?
?1 x?
的一个特征值为-1，求其另一个特征值. ?
?2 1 ?
x2y2
2. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1的右顶点为A，上顶点为B，点P是第一
164
象限内在椭圆上的一个动点，求?PAB面积S的最大值． 3. 设10件同类型的零件中有2件不合格品，从所有零件中依次不放回地取出3件，以X表示取出的3件中不合格品的件数．
（1）求“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率；
（2）求X的概率分布和数学期望E(X)．
4. 三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB=2，AC=4，
AA1=3．D是BC的中点．
（1）求直线DB1与平面AC11D所成角的正弦值； （2）求二面角B1-A1D-C1的大小的正弦值．
冲刺一模附加题训练三
1.矩阵与变换
?10?
已知曲线C: y2=2x，在矩阵M=??对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵02???0-1?N=??对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程． 10??
?0-1??10??0-2?解：设A=NM，则A=???02?=?10?， ?????????????3分 10??????
设P(x', y')是曲线C上任一点，在两次变换下，在曲线C2上的对应的点为P(x, y)， x'=y,
?x??0-2??x'??-2y'??x=-2y',??则 ??=???y'?=?x'?， 即?y=x',∴?y'=-1x. ????7分 10y???????????2
又点P(x', y')在曲线C: y2=2x上，∴ (-1x)2=2y，即y=1x2．????10分
82.坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的'原点，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐??x=,
标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l
的参数方程为?(t为参数，t∈R)．试
y=1+t??
在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．
x2
解：曲线C的普通方程是+y2=1． ??????????????2分
3
直线l
的普通方程是x=0． ?????????4分 设点M
的直角坐标是θ,sinθ)，则点M到直线l的距离是
d
7分
因为≤θ+
π
4
)≤
πππ3π
当sin(θ+)=-1，即θ+=2kπ-(k∈Z)，即θ=2kπ-(k∈Z)时，d取得最大值．
4424θ=． 7π
综上，点M
的极坐标为)时，该点到直线l的距离最大． ??10分
6
θ=注 凡给出点M
的直角坐标为(，不扣分．
3．如图，已知定点R(0，－3)，动点P，Q分别在x轴和y轴上移动，延长PQ至点M，使PQ=1QM，且PR?PM=0．
2（1）求动点M的轨迹C1；
（2）圆C2： x2+(y-1)2=1，过点(0，1)的直线l依次交C1于A，D两点
（从左到右），交C2于B，C两点（从左到右），求证：AB?CD为定值．
（第3题）
1
解：（1）法一：设M(x，y)，P(x1，0)，Q(0，y2)，则由PR?PM=0,PQ=QM及R(0，－3)，
2得
?
?-x1(x-x1)+(-3)y=0,?
1?
化简，得x2=4y．??????4分 ?-x1=x,
2?
11?y=y-y2.2??22
所以，动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线．????5分 法二：设M(x，y)．
1xy由PQ=QM，得 P(-,0),Q(0,)．
223x3x
所以，PR=(,-3),PM=(,y)．
22
x33
由PRPM=0，得 (,-3)?(x,y)=0，即x2-3y=0．化简得 x2=4y． 4分
224所以，动点M的轨迹C1是顶点在原点，开口向上的抛物线．???5分
（2）证明：由题意，得 AB?CD=AB?CD，⊙C2的圆心即为抛物线C1的焦点F． 设A(x1,y1)，D(x2,y2)，则AB=FA-FB=y1+1-1=y1． ??????7分 同理 CD=y2．
设直线的方程为 x=k(y-1)．
?x=k(y-1),
12?22222
由?12得y=k(y-1)，即ky-(2k-4)y+k=0．
4y=x,??4
所以，AB?CD=AB?CD=y1y2=1． ??????????10分 4．已知数列{an}满足：a1=2a-2,an+1=aan-1+1(n∈N*)． （1）若a=-1，求数列{an}的通项公式；
（2）若a=3，试证明：对?n∈N*，an是4的倍数．
解：(1)当a=-1时，a1=-4,an+1=(-1)an-1+1．
令bn=an-1，则b1=-5,bn+1=(-1)bn． 因b1=-5为奇数，bn也是奇数且只能为-1， 所
以
，
?-5,n=1,bn=?
?-1,n≥2,
即
?-4,n=1,
?????????????????????3分 an=?
0,n≥2.?
(2)当a=3时，
a1=4,an+1=3an-1+1． ????????????????????????4分
下面利用数学归纳法来证明：an是4的倍数． 当n=1时，a1=4=4?1，命题成立；
设当n=k(k∈N*)时，命题成立，则存在t∈N*，使得ak=4t，
∴ak+1=3ak-1+1=34t-1+1=27?(4-1)4(t-1)+1=27?(4m+1)+1=4(27m+7)，
4t-5
+其中，4m=44(t-1)-C14(t-1)?4
4t-4-r
+(-1)rCr+4(t-1)?4
t-3
-C44(t-1)?4，
∴m∈Z，∴当n=k+1时，命题成立．
∴
由数学归纳法原理知命题对?n∈N*成
立． ???????????????????10分
冲刺一模附加题训练四
?x??x'??x+2y?
1.已知，点A在变换T：??→??=?作用后，再绕原点逆时针旋转90o，得到?
?y??y'??y?
点、B．若点B的坐标为（-3，4），求点A的坐标． 2.已知在极坐标系下，圆C：p= 2cos（θ+
π
2
）与直线l：ρsin（θ+
π
4
）
M为
圆C上的动点．求点M到直线l距离的最大值．
3.银行的一个营业窗口可办理四类业务，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整
数分钟，经统计以往100位顾客办理业务所需的时间（t），结果如下：
注：银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计，并将频率视为概率． （Ⅰ）求银行工作人员恰好在第6分钟开始办理第三位顾客的业务的概率； （Ⅱ）用X表示至第4分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．
4.已知函数f（x）=
12
x+1nx． 2
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）设g（x）=f（x），求证：[g(x)]n-g(xn)≥2n-2(n∈N+)．
冲刺一模附加题训练五
1.已知矩阵A=?
?1 a??-1?
α=λ=-1的一个特征值为，其对应的一个特征向量为，已11???
?c0 ??1?
知β=??，求A5β.
2.
已知直线的参数方程?
?8??1?
??x=2-t
（为参数），圆C的极坐标方程：ρ+2sinθ=0．
??y=1（1）将直线的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）在圆C上求一点P，使得点P到直线的距离最小．
3.如图，圆锥的高PO=4，底面半径OB=2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EF⊥DE．
（1）求异面直线EF与BD所成角的余弦值； （2）求二面角O-DF-E的正弦值．
A B
4.（1）山水城市镇江有“三山”——金山、焦山、北固山，一位游客游览这三个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这三个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望；
（2）某城市有n（n为奇数，n≥3）个景点，一位游客游览每个景点的概率都是0.5，且该游客是否游览这n个景点相互独立，用ξ表示这位游客游览的景点数和没有游览的景点数差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．
D
E
冲刺一模附加题训练六
1.矩阵与变换
?-1a?
已知a,b∈R，若矩阵M=??所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求b3??M-1.
【解】对于直线l上任意一点(x,y)，在矩阵M对应的变换作用下变换成点(x',y')，
?-1a??x??-x+ay??x'?则?=?=??， ????
?b3??y??bx+3y??y'?
因为2x'-y'=3，所以2(-x+ay)-(bx+3y)=3， ???????????????4分
?-2-b=2,?a=1,所以?解得?
?2a-3=-1,?b=-4.
?-11?所以M=??， ????????????????????????????7分 -43???3-1?所以M-1=?. ????????????????????????10分 ?
?4-1?
2.坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线2ρcosθ+ρsinθ+a=0(a>0)被圆ρ=4sinθ截得的弦长为2，求a的值.
【解】直线的极坐标方程化为直角坐标方程为2x+y+a=0， ??????????3分
圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4 ，????6分 因为截得的弦长为2，所以圆心(0,2)
，
=a>
0，所以a=2. ???????????????10分
3.
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1=6，AB=2，M,N分别是棱BB1，CC1上的点，且BM=4，CN=2. ⑴求异面直线AM与AC11所成角的余弦值； ⑵求二面角M-AN-A1的正弦值.
1
1
A1
（第3题图）
【解】⑴以AC的中点为原点O，分别以OA,OB所在直线为x,z轴，建立空间直角坐标系
O-xyz（如图）C，. 则O(0,0,0)，A(1,0,0)，
A1(1,6,0)，C1(-1,6,0).
所以AM=(-，AC11=(-2,0,0). 所以cos=
AMA1C1AMA1C1
=
=
所以异面直线AM与AC11
⑵平面ANA1的一个法向量为m=(0,0,1).
设平面AMN的法向量为n
=(x,y,z)，因为AM=(-，AN=(-2,2,0)，
??n⊥AM,??-x+4y=0,由?得?令x=
1，则n=(1,1,.
???-2x+2y=0,?n
⊥AN,
所以cos=
mn， ==mn. ?????????????????10分 02n-112n-222n-3rnn-1
4.已知函数f(x)=Cnx,n∈N*． -Cnx+Cnx-+Cn(-1)rx2n-1-r++Cnn(-1)x⑴当n≥2时，求函数f(x)的极大值和极小值；
所以二面角
M-AN-A11
⑵是否存在等差数列{an}，使得a1C0n+a2Cn+并说明理由．
n
+an+1Cn=nf(2)对一切n∈N*都成立？
n1n-1n-2rn-r
【解】（1）f(x)=xn-1[C0+C2-???+Cr+???+(-1)nCnnx-Cnxnxn(-1)xn]
=xn-1(x-1)n，
f'(x)=(n-1)xn-2(x-1)n+xn-1?n(x-1)n-1=xn-2(x-1)n-1[(n-1)(x-1)+nx]，
令f'(x)=0得x1=0,x2=
n-1
,x3=1， 2n-1
因为n≥2，所以x1
x
(-∞,0)
(0,
n-1
)2n-1
n-12n-1
(
n-1
,1)2n-1
1
(1,+∞)
f'(x)
+ 0 + 0
-
+
f
(x)
无
极值
极大值
极小值
(n-1)n-1?(-n)nn-1
所以当x=时，y极大；当x=1时，y极小=0．???4分
(2n-1)2n-12n-1
当n为奇数时f(x)的增减性如下表：
x
(-∞,0)
(0,
n-1
)2n-1
n-12n-1
(
n-1
,1)2n-1
1
(1,+∞)
f'(x)
+ 0
-
0 + 0 +
f(x
)
极大值
极小值
无极值
(n-1)n-1?(-n)nn-1
所以x=0时，y极大=0；当x=时，y极小=．????6分
(2n-1)2n-12n-1
12nn-1
（2）假设存在等差数列{an}使a1C0成立， n+a2Cn+a3Cn+???+an+1Cn=n?2
n-m
由组合数的性质Cm， n=Cn
12nn-1把等式变为an+1C0， n+anCn+an-1Cn+???+a1Cn=n?2
两式相加，因为{an}是等差数列，所以a1+an+1=a2+an=a3+an-1=
1故(a1+an+1)(C0n+Cn+
=an+1+a1，
n
+Cn)=n?2n，
所以a1+an+1=n． ?????????????????????????8分 再分别令n=1，n=2，得a1+a2=1且a1+a3=2，
进一步可得满足题设的等差数列{an}的通项公式为an=n-1(n∈N*)．???10分
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