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从函角度看某些方程、不等式的解(安庆怀宁)

时间:2021-10-01 13:41:05 教育论文 我要投稿

从函角度看某些方程、不等式的解(安庆怀宁)

从函角度看某些方程、不等式的解(安庆怀宁)许季龙 3月20日 中学数学里的方程、不等式与函数间的联系是双向的:一方面函数的整体性认识要得到议程、不等式以指导。但就目前教材的安排以及其中的例题与习题的配备来看,这后一方面的联系,显得不足。下面就本人对高一教材所做过的补充和延伸,举例谈谈关于某些方程、不等式的解,可以从六个方面考虑。

一 从函数定义域考虑

例1 解方程(x2+2x-3)1/2+(x+3)1/2-(1-x)1/2=x+1

解 设f(x)=)(x2+2x-3)1/2+(x+3)1/2-(1-x)1/2,则f(x)的定义域取决于

下面不等式组的解:

二 从函数值域考虑

例2 解方程

(x2-2x+5)1/2+(x6-2x+10)1/2= 4-2x2+x4.

解 设f(x)= (x2-2x+5)1/2+(x6-2x+10)1/2

g(x)= 4-2x2+x4

因为f(x)= [(x-1)2+4)]1/2+[(x3-1)2+9)]1/2≥5;

g(x)= 5-(x2-1)2+x4≤5。

仅当x-1=x3-1=x2-1=0时, f (x)= + g(x),从而推出原方程的解为x=1。

例3 解方

x+1/x=sinx+31/33cosx.

解 令=x+1/x,

g(x)=sinx+31/3cosx

易证:| f(x)|= | x+1/x|=|x|+1/|x|≥2;

|g(x)|=| 2sina(x+π/3|≤2

但是当|f(±1)|=2时,但是当| g (±1)|≠2时.所以原方程没有

解.

三 结合函数定义域、值域考虑

例4 解方程

(3x2-10x+8)1/2+(2x2-x-6)1/2=2x-4

解 令f(x)= (3x2-10x+8)1/2+(2x2-x-6)1/2,

g(x)= 2x-4.

∵f(x)≥0,∴g(x)= 2x-4≥0.于是x≥2.

又3x2-10x+8=(x-2)(3x-4)≥0;

2x2-x-6=(x-2)(2x+3)≥0

所以, f(x)、g(x)的定义域是x≥2。在此条件下原方程又可化

为:

(x-2)1/2[(3x-4)1/2+(2x+3)1/2=2[(x-2)2]1/2.它的解为下列方二程

之解:

x-2=0; (1)

(3x-4)1/2+(2x+3)1/2=2(x-2)1/2

(2)

解(1)得x=2;而(2)没有解,事实上,将(2)式移项得

(3x-4)1/2-(x-2)1/2=(x-2)1/2-(2x+3)1/2,再采用分子有理化的方法,得到

(2x-2)/[(3x-4)1/2+(x-2)1/2]=-(x+5)/(x-2)1/2+(2x+3)1/2

当x≥2时,上式左边函数值为正,右边的函数值为负。得出矛盾。

经检验原方程仅有一解x=2。

四 结合函数性质考虑

例5 解方程(2x+7)1/2-(2-x)1/2=(5-x)1/2

解 设f(x)= (2x+7)1/2;g(x)=(5-x)1/2-(2-x)1/2.在它们共

同的定义域里,f(x)严格递增,g(x)严格递减且原方程与方程f(x)=- g(x)同解.显然 f(1)=g(1),并且x>/时,时,f(x)>f(1)=g(1)>g(x);

x<1时,f(x) 这就是说f(x)=g(x)仅有一解`x=1.

例6 解不等式1-(1-4x2)1/2/x<3.

解 设不等式左边为f(x),不难确定其定义域是[-1/2,0)∪

(0,1/2].当02)1/2],容易看出,它的分子不超过2,分母总是不小于1的.因此,0 推得原不等式的解集就是[-1/2,0)∪(0,1

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