高中、大学数学学习衔接问题的研究

时间：2021-10-02 13:24:46 数学论文我要投稿

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高中、大学数学学习衔接问题的研究

　论文摘要：大学数学课程是高校培养创新型人才的重要载体。开展大学数学课程的研究性教学是实施创新教育的重要组成部分。本文对开展大学数学课程研究性教学的必要性和措施作了一些探讨。

　　教学是培养创新型人才的主要途径。为了使我国在2013年跨入创新型国家行列[1]，积极探索促进创新型人才培养的有效课程教学模式是新时期高等教育所要着力解决的重要课题。在此背景之下，研究性教学成为近年来我国创新教育教学研究的热点问题之一[2-3]。大学数学课程在高校课程体系中占据着不可替代的重要地位，是高校创新型人才培养的重要载体。因此，开展大学数学课程研究性教学的研究和实践对推进创新教育、实现创新型人才培养具有重要意义。本文对开展大学数学课程研究性教学的必要性和措施作了一些有益的探讨。

高中、大学数学学习衔接问题的研究

　　一、开展大学数学课程研究性教学的必要性

　　从数学的发展来看，问题是数学创新的源泉和动力。例如，德国数学家希尔伯特（D. Hilbert）在1900年召开的国际数学家大会上作了题为《数学问题》的演讲，提出被后人称为“希尔伯特问题”的23个数学问题。这些问题为数学家开展研究指明了方向。一个好的数学问题的价值在于其可以激发数学家的创新思维，引发思想、方法和理论方面的创新。因此，有人将好的数学问题比喻成会下蛋的金鹅。事实上，到目前为止，这23个问题中的大多数都已得到完满解决，促进了涉及数学基础的一些关键问题的研究和解决，直接推动了代数、几何、分析等数学分支的发展，催生出一系列的相关创新成果。

　　从人才培养来看，具有较强的创造性思维和问题解决能力是创新型人才培养的重要目标。理论和实践的创新都来源于对问题的探索和解决过程，能够发现和提出问题是思维积极、具有较强创新意识和能力的一种表现。爱因斯坦曾经说过：“只有善于发现问题和提出问题的人，才能产生创新的冲动。”同时，分析问题视角的独特性和解决问题的新颖性是评判创新型人才创新能力高低的重要标准。而思维的创造性、问题解决能力是可以利用恰当的载体通过后天的训练获得和提高的。数学课程就是进行这种训练的恰当载体，而且几千年的教育实践也证明了其有效性。著名数学教育家波利亚（G. Pólya）认为数学能力是解决问题的才智。

　　研究性教学是一种以问题为中心、以提高学习者的问题解决能力为目标的教学形式。开展数学课程研究性教学是对学生进行数学思维训练、提高其创新能力和意识的必然选择。事实上，问题在数学学习和思维过程中发挥着重要作用：问题情境引发数学学习者的抽象思维和形象思维等思维活动，进而诱发学习者探究和创新等认知活动的进行。在对数学问题的研究过程中，学习者要经历观察、比较、分析、归纳、猜想、概括、构造、判断、推理等多种认知过程，要综合运用抽象、逻辑、直觉等多种思维能力。因此，这一过程就是学习者自身经历知识的获取、探究、形成和运用的过程，就是学习者实现知识和能力的自我建构过程。在数学课程研究性教学中，教师通过创设问题探究的研究性教学情境，启发、引导学生通过对问题的分析和研究来积极主动完成知识的探究和学习。在这一教学模式下，教师的`目标由 “授人以鱼”向“授人以渔”转变，教师的角色由知识的灌输者向问题情境的创设者、学习和研究策略的指导者转变；学生的学习目标由“学会”向 “会学”转变，学生的角色由消极被动的接受者向积极主动的参与者、知识与能力的自我建构者转变。教师与学生围绕问题开展质疑、验证、讨论等多种交流互动，学生要亲历问题的发现、分析和解决全过程。所以，开展以问题为中心的大学数学课程研究性教学能够促进数学课程教学模式的转变，使学习者的数学思维、创新能力得到更为有效的训练和提高。

　　二、开展大学数学课程研究性教学的措施

　　针对大学数学课程的特点，并结合近年来教学实践，我们认为可以采取以下措施切实推进大学数学课程研究性教学的开展，更好地服务于创新型人才培养这一中心目标。

　　（一）将数学文化融入课程教学

　　将数学文化有机融入数学课程教学，以此推动数学课程研究性教学的进行，主要着眼于以下两方面。

　　1.研究性教学是以问题为中心的教学方法。教师必须根据教学目标，结合教学内容设计恰当的问题，合理选取素材，创设一个开放生动的学习和探究的问题情境，引导学生自主地开展学习、研究活动。而数学文化中的数学猜想、数学史料、数学名题等是教师开展研究性教学时进行问题设计和研究素材选取的重要来源。例如，在高等数学课程中，利用第二次数学危机的有关问题和情况开展微积分相关概念的研究性教学。在介绍完无穷小量、极限、导数、微分等概念后，向学生提出一些问题：哪些概念是微积分中的根本性概念？无穷小量是不是零？在学生思考和讨论的过程中，穿插介绍第二次数学危机中曾经出现过的一些谬论、错误认识，让学生去辨识。同时，还做一些包含错误的演算演示，让学生找出演算中的错误。比如，在增量为无穷小的情况下，直接令其为零。在这样的研究性教学中，学生能够搞清微积分中诸如无穷小量、无穷大量、极限、导数、微分等重要概念。同时，他们也能体会到：数学学习和研究不能陷于形式的计算和推导，要注意自己数学理论基础的严密和扎实性。事实上，在这样的教学过程中，学生不仅对所学内容有了更深的认识，而且可以吸取数学家在数学创新中的经验和教训。

　　2.学生学习和研究的自主性是影响研究性教学成

　　败的关键性因素之一。因此，教师要创设趣味盎然的教学情境，以此激发学生的学习兴趣和探究未知问题的主动性，这样才能保证研究性教学的顺利进行。而数学史料、诗词歌赋、数学家生平等数学文化素材为进行上述工作提供了重要依托。例如，著名的哥尼斯堡七桥问题将抽象的拓扑学与通俗的生活问题相连，教师可用它进行拓扑课程的研究性教学，自然地引导学生认识拓扑学的发展起源并阐述同胚的实质。又如，杨振宁先生写过一首名为“赞陈氏级”的诗[4]：“天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。”利用这首诗可以创设趣味盎然的微分几何研究性教学情景：以诗中提到的欧几里得、高斯、黎曼、嘉当、陈省身五位数学大师生平与贡献为线索，介绍几何学的发展史，并将课程的相关内容前后勾连、有效衔接；以此诗的撰写背景来阐述几何与物理殊途同归、相互促进的关系。　数学文化是一门涉及数学、历史学、哲学、文化学等的交叉科学。因此，将数学文化融入数学课程研究性教学，其重要意义在于：它可以在数学与人文科学之间架设起一座桥梁，将科学素质教育与人文素质教育有机融合。

　　（二）做好数学软件的教学工作

　　经过多年的发展，目前MATLAB、MATHEMATICS等数学软件在数学图形绘制、数值计算等方面的功能日益强大和完善，可以帮助数学、物理、工程、电子、设计等理工科专业人员快速高效地解决在应用和研究中出现的许多问题。比如，利用数学软件进行数值模拟是解决工程问题的有效途径之一。因此，有必要通过恰当的方式加强数学软件使用教学，这也是开展数学研究性教学的重要组成部分。

　　数学实验课程是进行数学软件使用教学的一个优良平台。它让学生从问题出发，利用数学软件，通过亲自动手来体验分析和解决问题的过程，去探究和验证数学规律。限于课时等原因，目前数学实验的开设情况还不够理想。而且，数学实验的内容选择过于宽泛，与具体课程教学内容的结合不够紧密。这都在一定程度上影响了数学软件在数学课程研究性教学中作用的发挥。这是在今后的教学改革和实践中要着力解决的问题。

　　我们可将数学软件在数学课程中的应用内容以模块化的形式融入具体数学课程的教学中。这是顺应计算机技术普及趋势的必然选择，也是在数学课程中开展研究性教学的客观要求。事实上，陈省身和钱学森先生在2013世纪201313年代就指出了数学教学要关注计算机的深刻影响，倡导数学课程教学与计算机技术的紧密结合。通过这种化整为零的方式，可以更为有效地组织数学课程的研究性教学，打破了数学课程教学的单调性，增强数学课程教学的实践性，提升课程的教学效果。

　　从教学实践来看，这种模块化的教学方式在学时有限的背景下更为行之有效。例如，在线性代数、最优化等课程中，学生可利用数学软件的数值计算功能进行例题的计算和数值模拟，使其从一些不必要的机械计算练习中解放出来，能够有更多的精力关注理论和方法的学习。在解析几何、微分几何等几何类课程中，利用数学软件在图形绘制方面的强大功能快速而准确地绘制出教学中所涉及的曲线、曲面等几何图形，使课程的研究性教学更为直观生动，引导学生开展对几何对象性质的探究和验证。利用数学软件也可以给予一些非几何课程中的抽象结论以几何解释，帮助学生从多角度理解课程的教学内容。例如，线性方程组求解是线性代数中的经典内容。借助数学软件用对这部分内容进行研究性教学：三元一次方程对应于三维空间中的一个平面，而三元一次方程组求解的问题就相当于求各个方程所对应的平面交点问题。利用MATLAB等数学软件绘制出各个方程所对应平面的图形，让学生观察其交点的情况，并与计算结果相对比。然后，让学生就二元一次方程组、四元一次方程组等情况作进一步讨论和验证。学生感觉这种方式非常新颖、直观。

　　（三）做好数学应用的教学工作

　　应用既是数学的归宿，又是数学创新的重要来源。正如著名数学教育家弗洛登塔尔所说：“数学源于现实，并且用于现实。”华罗庚先生曾这样概括过数学应用范围之广：“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学。”[5]数学的广泛应用为数学课程的研究性教学的问题设计、知识引入、理论实践等提供了重要帮助，为灵活多样研究性教学方式的开展提供了支撑，也为学生创新能力和探究精神的培养提供了依托。

　　大学数学知识有着众多实际应用。例如，线性代数、工程数学等在气象

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