（合集）常用函数图像
常用函数图像1
1.一定要留足时间让学生自己作出二次函数的图象
可能在教学过程中，有些教师会觉得作图象是上一节课的重点，这一节主要是学生观察、分析图象，从而不让学生画图象或者只是简单的画一两个。这种做法看上去好像更加突出了重点、难点，却没有给学生探索与发现的过程，造成学生对于二次函数性质的理解停留在表面，知识迁移相对薄弱，不利于培养学生自主研究二次函数的能力。
2. 相信学生并为学生提供充分展示自己的机会
在归纳二次函数性质的时候，也要充分的'相信学生，鼓励学生大胆的用自己的语言进行归纳，因为学生自己的发现远远比老师直接讲解要深刻得多。在教学过程中，要注重为学生提供展示自己聪明才智的机会，这样也利于教师发现学生分析问题解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。
3．注意改进的方面
在让学生归纳二次函数性质的时候，学生可能会归纳得比较片面或者没有找出关键点，教师一定要注意引导学生从多个角度进行考虑，而且要组织学生展开充分的讨论，把大家的观点集中考虑，这样非常有利于训练学生的归纳能力。
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一、说教材
1、教材的地位和作用
函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本函数之一。本节内容是在学生已经学过指数函数、对数及反函数的基础上引入的，因此既是对上述知识的应用，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解。对数函数在生产、生活实践中都有许多应用。本节课的学习使学生的知识体系更加完整、系统，为学生今后进一步学习对数等提供了必要的基础知识。
2、教学目标的确定及依据
根据教学大纲要求，结合教材，考虑到学生已有的认知结构心理特征，我制定了如下的教学目标：
（1）知识目标：掌握对数函数的图像与性质；初步学会用对数函数的性质解决简单的`问题。
（2）能力目标：渗透类比、数形结合、分类讨论等数学思想方法，培养学生观察、分析、归纳等逻辑思维能力。
（3）情感目标：构造和谐的教学氛围，增加互动，促进师生情感交流，培养学生严谨的科学态度，欣赏数学的精确和美妙之处，调动学生学习数学的积极性。
3、教学重点与难点
重点：对数函数的图像与性质。
难点：对数函数性质中对于在《对数函数的图像与性质》说课稿与《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况函数值的不同变化。
二、说教法
学生在整个教学过程中始终是认知的主体和发展的主体，教师作为学生学习的指导者，应充分地调动学生学习的积极性和主动性，有效地渗透数学思想方法。根据这样的原则和所要完成的教学目标，对于本节课我主要考虑了以下两个方面：
1、教学方法：
（1）启发引导学生观察、联想、思考、分析、归纳；
（2）采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法；
（3）渗透数形结合、分类讨论等数学思想方法。
（4）用探究性教学、提问式教学和分层教学
2、教学手段：
计算机多媒体辅助教学。
三、说学法
“授之以鱼，不如授之以渔”，方法的掌握，思想的形成，才能使学生受益终身。本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：
（1）探究定向性学习：学生在教师建立的情境下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出对数函数的图像与性质。
（2）主动式学习：学生自己归纳得出对数函数的图像与性质。
四、说教程
1、温故知新
我通过复习y＝log2x和y＝log0。5x的图像，让学生熟悉两个具体的对数函数的图像。
设计意图：这与本节内容有密切关系，有利于引出新课。为学生理解新知清除了障碍，有意识地培养学生分析问题的能力。
2、探求新知
研究对数函数的图像与性质。关键是学生自主的对函数《对数函数的图像与性质》说课稿和《对数函数的图像与性质》说课稿的图像分析归纳，引导学生填写表格（该表格一列填有《对数函数的图像与性质》说课稿在《对数函数的图像与性质》说课稿及《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况下的图像与性质），采用“从特殊到一般”、“从具体到抽象”的方法，归纳总结出《对数函数的图像与性质》说课稿的图像与性质。
在学生得出对数函数的图像和性质后，教师再加以升华，强调“数形结合”记忆其性质，做到“心中有图”。另外，对于对数函数的性质3和性质4在用多媒体演示时，有意识地用（1）（2）进行分类表示，培养学生的分类意识。
设计意图：教师建立了一个有助于学生进行独立探究的情境，学生通过观察、联想、思考、分析、探索，在此过程中，这充分体现了探究定向性学习和主动合作式学习。
3、课堂研究，巩固应用
例1主要利用对数函数《对数函数的图像与性质》说课稿的定义域是《对数函数的图像与性质》说课稿来求解。
例2利用对数函数的单调性，比较两个同底对数值的大小。在这个例题中，注意第三小题的点拨，选择和中间量0或1比较，第四小题要分底数《对数函数的图像与性质》说课稿及《对数函数的图像与性质》说课稿两种情况。
例3解对数不等式，实际是例2的一种逆向运算，已知对数值的大小，比较真数，任然要使用对数函数的单调性。
设计意图：通过这个环节学生可以加深对本节知识的理解和运用，在此过程中充分体现了数形结合和分类讨论的数学思想方法。同时为课外研究题的解决提供了必要条件，为学生今后进一步学习对数不等式埋下伏笔。
4、巩固练习
使学生学会知识的迁移，两个练习紧扣本节内容，利用课堂研究中体现的重要的数形结合和分类讨论的数学思想方法，学生课后完全有能力解决这个问题。
5、课堂小结
引导学生进行知识回顾，使学生对本节课有一个整体把握。从两方面进行小结：
（1）掌握对数函数的图像与性质，体会数形结合的思想方法；
（2）会利用对数函数的性质比较两个同底对数值的大小，初步学会对数不等式的
解法，体会分类讨论的思想方法。
6、作业：p97习题3，4，5
选做题6题
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教学设计思路：新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式把学习的主动权还给学生。以此为宗旨，我采用自主学习、合作探究方法引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合，并体现以下几个特点
（1）苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需要，那就是希望自己是一个发现者和探索者”本节课正是抓住学生的这心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习过程充满激情，快乐学数学。
（2）注重信息反馈，坚持师生间的多向交流。当学生接触新知一周期性、单调性、值域等性质时以及利用性质画出图象时，要引导学生多思多说、多练，要充分暴露他们所遇到的知识障碍，并在师生之间的多向交流中，不断的得到解决，伸知识深化。
本节课是在学生掌握了单位圆中的正弦函数线和诱导公式的基础上进行的，不仅是对前面所学知识应用的考察，也是后续学习正余弦函数性质的基础：对函数图像清晰而谁确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的`工具，本小节内容是三角函数的图象与性质，是本章知识的重点。
有看求前启后的作用美国华盛顿一所大学有句名言：“我听见了，就忘记了我看见了，就记我做过了，就理解了”要想让学生深刻理解三角函数性质和图像，就生主动去探素，大胆去实践，亲身体验知识的发生和发展过程学生情况分析：知识上，通过高一对函数的学习，学生已经具绘图技能，能够类比推理画出图像，并通过观察图像，总结性质，心具备了一定的分语言表达能力，初步形成了辩证的思想。
常用函数图像4
3月4日我们参加了市教研室在三中举办的《反比例函数的图像和性质》分层教学教研活动后受益匪浅。《反比例函数的图像和性质》是初中八年级数学教材中的重点内容，也是难点所在。它安排在学生理解了反比例函数的意义并掌握了用描点法画函数图像的基础上进行教学。如何以新课程的理念设计和实施这节课的课堂教学，一直以来都是初中数学老师关注的焦点。
这节课，两位老师的引入侧重点不同，增中的数学老师从一次函数的图象及其画法单刀切入，给人蹂雪无痕之自然感觉；三中的刘老师先从复习反比例函数的解析式和正比例函数的性质以及画图象步骤入手，本来设计也很好，只可惜第一道选择题“是反比例函数”的正确答案“C：y=”的干扰答案“D：y=”有很多学生误选了而没有详细解释，使学生带着疑问学习，可能会影响效果。两位老师的`引入侧重点虽不同，但异路同归，很快就引出本节第一个新内容——画反比例函数图像，最后引导学生分析比较正比例函数和反比例函数的解析式和图像的异同点。课堂上采用整体感悟，自主学习，合作探究，体验感悟的学习方式，使学生通过观察、分析、研讨，掌握了反比例函数的图像和性质。
教学过程中也注重了培养学生的探究，归纳及概括能力。在指导学生探究反比例函数性质及图像的过程中渗透分类讨论思想和数形结合的思想。”
具体地说，两位老师都有如下几个特点：
1、注重了学生动手操作能力的培养，如动手画反比例函数图象
一环节让学生绘画并交流图像的形状。
2、注重及时总结梳理知识，课堂上及时总结，使学生清楚地把
握并记忆重点知识。
3、注重分层指导。所设计的讲题、练题、作业题比较有梯度。
4、注重学生学习兴趣的培养。
5、培养学生良好的学习品质。如合作探究、分析研讨、设疑等
6、课堂气氛轻松愉快。
总之，这两节课上得很实在。相比之下，我们更欣赏第一节的异地教学，老师为学生的自主学习创设情境与空间，不束缚学生的思维，画图象一开始就用网格，发挥着抽象问题具体化，突破难点的作用。老师的教态大方，语言流畅，驾驭课堂能力很强。整堂课用了各种方法调动了学生的积极性，在传授知识的同时更加注重思想方法的学习和能力的培养，真正令学生乐学、教师悦教。
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一、教材分析（说教材）
1.教材所处的地位和作用
本节内容是高中数学必修4第一章第七节的内容.它前承正弦余弦函数的图像和性质，后启正切函数的诱导公式问题.
2.教学目标
知识与技能：（1）能借助单位圆理解任意角的正切函数的定义．（2）能画出y=tanx的图像．（3）掌握正切线的基本性质．（4）让学生亲身经历数学研究的过程，学会应用类比推理与数形结合的思想处理问题.
过程与方法：类比正、余弦函数的概念，引入正切函数的概念；让学生通过类比，联系正弦函数图像的作法，通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像；能学以致用，结合图像分析得到正切函数的性质．
情感态度与价值观：使同学们对正切函数的概念有一定的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学生的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神. 通过学生自主探究小组合作交流的过程体验探索的乐趣，增强团队意识，增强学习数学的兴趣.
3.重点、难点以及确定的依据和处理的方法
重点：正切函数的图像和性质是本节课的重点，其理论依据是任意函数的图像和性质都是紧密相连的，都是研究的重点对象.对于正切函数来说由于定义域的不连续性导致了图像的间断性.所以要正确探索出图像和性质.处理方法是类比正余弦函数的图像和性质的研究.
难点：画正切函数的图像.依据是正切线能准确画正切函数的图像，但不实用，在应用时一定要学会画简图.在难点的处理上我先让学生通过自己画出特殊角的正切线并平移到直角坐标系中，让学生体会图像与X轴的交点，再利用定义域找到图像间断处的.渐近线(用虚线)，然后找到一个周期内的几个特殊点，利用周期性画出其它区间的图像.
二、学情分析（说学法）
学生已经有了研究正弦余弦函数图像和性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数图像和性质的研究中，在心理上也具备了一定的分辨能力和语言表达能力.因此采用自主合作探究式学习方法，让学生自己通过自学和与他人合作的方式来完成学习任务.教师在重难点的地方给予提示和帮助即可.
三、教学策略（说教法）
（一）教学手段
一般对于三角函数性质的研究总是先作图像，再通过图像来获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质进行严格的表述.所以对正切函数仍然采用了这样的方法.先根据已有的知识（类比正弦函数和余弦函数的图像与性质）来研究正切函数的图像，然后再根据图像来研究性质.这样处理主要是为了给学生提供研究数学的直观视角，在图像的引导下可以更加有效地研究性质，加入感性思维的成分，并使数形结合的思想体现的更加全面.
（二）教学方法及其理论依据
如何突出重点，突破难点，从而实现教学目标.我在教学中利用课前布置预习任务，课中学生讨论回答问题的形式进行教学，从而为重点和难点知识留下充分的学习时间.教学中坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，即“以学生活动为主，教师讲述为辅，学生活动在前，教师点拨评价在后”的原则，采用学生参与程度高的自主探究教学法.在学生课前看书、独立完成思考、小组合作探究讨论的基础上，在教师课前了解学生学情的前提下，让一部分学生回答提出的问题，其他学生进行质疑讨论，教师对学生的质疑点进行解释，最后老师再进行点评和补充.
四、教学流程
（一）复习回顾：正弦函数和余弦函数；
利用单位圆中的正弦线作出正弦函数的图像.
（二）自主探究：
1.正切函数的定义
请学生课前自主学习课本35页7.1的内容，明确以下几个问题：
（1）正切函数的定义及定义域。
（2）正切函数值在每个象限的符号。
（3）什么是正切线？怎样作？
（4）正切函数是周期函数吗？如果是，周期与最小正周期分别是多少？
分组讨论后解答这几个问题。
通过学生自学探究，由学生自己把正切函数的定义以及相关问题，讨论并回答出来，教师对学生的一些知识疑惑点进行帮助提示.
2.正切函数的图像
让学生类比正弦函数图像的画法自己尝试画出正切函数的图像，对学生画出的正切函数图像进行点评.以鼓励为主然后让学生想一想怎样可以画出整个定义域内的正切函数图像.
3.正切函数的性质
通过多媒体展示，用平移正切线的方法，准确的画出正切函数的图像，并让学生看着图像再直观的理解性质.
（三）例题展示
例1 求函数 《正切函数的定义、图像与性质》说课稿 的定义域．
设计意图：让学生会进行整体代换问题，加强对正切函数定义域的理解.
例2 利用正切函数图像求满足条件的角的范围.
设计意图:强调学生要学会利用图像来做题，注意区间的开闭问题.
（四）课堂小结：学生自己先总结然后老师补充.
（五）思考问题：
1.正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
2.正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
五、作业布置
完成相应的课后作业.
六、设计说明
1.板书说明：侧黑板留给学生展示，前黑板用来展示多媒体.
2.时间分配:(一) 五分钟（二）六分钟1.十分钟2.十二分钟3.五分钟
（三）五分钟（四）一分钟（五）一分钟
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《正切函数的图像与性质》是高一的一节概念课，在学习了正弦函数和余弦函数的图形与性质以后，再学习正切函数的图像与性质，教学的重点除了要让学生掌握正切函数的图像性质，更要让学生掌握研究函数的一般方法，也就是在课堂教学中学生对于“方法”的掌握和体验很关键。这次，听了刘卫华老师的《正切函数的图像与性质》一课，给我的启发和收获很大。
首先，虽然现在的数学课堂教学过程中可以利用的教学辅助技术和工具很多，而且，刘老师也确实恰到好处地在课堂教学过程中使用了PPT和几何画板，这对于更精确、形象而又直观地研究函数图像有很大的帮助。然而，让我很敬佩的是，刘老师同时也没有因此而放弃我们传统的尺规作图的教学，她通过自己的作图带领学生经历了一次很好的函数性质研究过程。从而也体现了她良好的数学业务功底以及对数学学科知识的很高认知水平。
此外，刘老师教学语言的规范性，教学过程中推理的严密性也非常值得我学习。她的课堂教学语言非常简练，几乎没有什么多余的废话。对学生的问题总是能非常简洁而又一针见血地指出。这对于培养学生严密的思维以及良好的数学语言表达能力是非常重要的'。让我印象很深的是，在研究正切函数奇偶性的时候，当学生完成了奇函数的证明后，刘老师能够继续指出，让学生思考有没有可能是一个偶函数？从而充分体现了教师在教学过程中推理演绎过程的严密性。在这里，稍微有点遗憾的是，有学生提出是奇函数了就不会是偶函数时，教师可能因为没有听到的原因，没有针对这个问题把学生的这个错误纠正。
第三、教学过程中对于一些通性通法的教学使得学生能够在类比思想的引导下，基本自主地完成函数图像和性质的研究。在整堂课的教学过程中，其实类比的思想方法是始终贯穿其中的。教师一开始就让学生类比正弦函数的定义来得到正切函数的定义。虽然在类比过程中，正切函数的定义得出有点快，但是整个的设计指导思想是对的。因为，数学教学中，最重要的是数学思想和一些研究问题的方法的学习，这才是对学生今后的继续学习最有用的。如果说稍微有些遗憾的地方，就是在课的最后小结部分显得有些仓促和慌乱，没有能很好的利用课堂小结这个环节将整堂课所涉及到的那么多研究的方法进行总结。
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由于学生已具备初等函数、三角函数线知识，为研究正弦函数图象提供了知识上的积累；因此本教学设计理念是：通过问题的提出，引起学生的好奇，用操作性活动激发学生求知欲，为发现新知识创设一个最佳的心理和认识环境，引导学生关注正弦函数的图象及其作法；并借助电脑多媒体使教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调学生“活动”的内化，以此达到使学生有效地对当前所学知识的意义建构的目的，感觉效果很好。
课后反思：
比较成功的地方：
1．教学思路清晰，各个环节过渡比较自然，课堂教学设计得比较紧凑．
2．教学设计对于正弦曲线、余弦曲线首先从实验入手形成直观印象，然后探究画法，列表，描点、连线——“描点法”作图，对于函数y＝sinx，当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数y＝sinx的图象的真实面貌.因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础.这样设计比较自然，合理，符合学生认知的基本规律．
3．利用正弦线作出y＝sinx在[0, 2?]内的图象，再得到正弦曲线，这里借助角周而复始的变化，体会后面性质“周期”，这样的设计由局部到整体，符合探究的.一般方法．
4．对于“五点法”老师让学生通过观察、学生讨论、进一步合作
交流得到“五点法”作图，也是本节课中一大的亮点，充分体现以学生为主的教学思路．
5．通过展示课件，生动形象地再现三角函数线的平移和曲线形成过程．使原本枯燥地知识变得生动有趣，激发学生的兴趣．
6．在得到正弦函数的图象后，通过一个探究，引导学生利用诱导公式，结合图象变换研究余弦函数的图象，体现了新课改中倡导的“自主探究、合作交流”的教学理念，有利于培养学生主动探究的意识． 需要改进的地方：
1．时间的把握要恰当，否则会影响课堂后面内容的安排．
2．在由正弦函数的图象得到余弦函数的图象的探究过程中，设计了让学生“自主探究、合作交流”的教学思路，但学生对“合作—交流”的热情不够，不太主动——在调动学生积极参与课堂活动方面做得不够好．
3．由于导入的过程时间稍长，加之本节课的容量过大，尽管在例题的教学过程中及时的改变了教学策略，把例1中的第（2）小题交由学生练习，还是导致了学生练习时间较少．
常用函数图像8
这部分内容就是中等偏下的学生容易混淆，还需掌握方法，加强记忆，强调必须利用图形去分析。通过教学，让学生对建模思想、图形结合思想及分类讨论思想都有了较清晰的认识，学会了分析问题的初步方法。
本章中二次函数上下左右的平移是我觉得上的比较成功的一部分，主要是借助多媒体，动态的展示了二次函数的平移过程，让学生自己总结规律，很形象，便于记忆。
但在教学中，我自认为热情不够，没有积极调动学生学习热情的语言，感染力不足。今后备课时要重视创设丰富而风趣的语言，来调动学生的积极性。
总之，在数学教学中不但要善于设疑置难，而且要理论联系实际，只有这样，才会吸引学生对数学学科的热爱。
反思三：
这节课，我对教材进行了探究性重组，同时放手让学生在探究活动中去经历、体验、内化知识的做法是成功的。通过充分的过程探究，学生容易得出也是最早得出了图象的性质，借助直观图象的性质而得到二次函数的性质。花费了一番周折，说明去掉这个中介，直接让学生从单调性来接受二次函数性质是困难的。
真正的形成往往来源于真实的自主探究。只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。在新课程理念的指导下，我们的一切教学都要围绕学生的成长与发展做文章，真正让学生理解、掌握真实的知识和真正的知识。
首先，要设计适合学生探究的素材。教材对二次函数的性质是从增减来描述的，我们认为这种对性质的表述是教条化的，对这种学术、文本状态的知识，学生不容易接受。当然教材强调所呈现内容的逻辑性、严密性与科学性是合理的。但是能让学生理解和接受的知识才是最好的。如果牵强的引出来，不一定是好事。
其次，探究教学的过程就是实现学术形态的知识转化为教育形态知识的过程。探究教学是追求教学过程的探究和探究过程的自然和本真。只有这样探究才是有价值的，真知才会有生长性。要表现过程的真实与自然，从建构主义的观点出发，就是要尊重学生各自的经验与思维方式、习惯。结论是一致的.，但过程可以是多元的，教师要善于恰倒好处地优化提炼学生的结论。追求自然，就要适当放开学生的手、口、脑，例如本文中的“走向”问题，“向上爬”、“向下走”等，如果是讲授注入式，我们就听不到学生真实的声音了。
最后，教师在学生探究真知之旅上应是一个促进者、协作者、组织者。要做善于点燃学生探究欲望和智慧火把的人，要善于让学生说教师要说的话，做教师想做的事，这就是一个成功的促进者。数学教学的过程是师生共同活动、共同成长与发展的过程。【二次函数的图像和性质教学反思5篇】文章二次函数的图像和性质教学反思5篇出自
常用函数图像9
作法
(1)列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。
(2)描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
一般地，y=kx+b(k≠0)的图象过(0，b)和(-b/k，0)两点即可画出。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过坐标原点的一条直线，一般取(0，0)和(1，k)两点画出即可。
(3)连线： 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用平滑曲线连接起来。
性质
(1)在一次函数图像上的任取一点P(x，y)，则都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总交于(-b/k，0)。正比例函数的图像都经过原点。
k，b决定函数图像的位置：
y=kx时，y与x成正比例：
当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大;
当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
y=kx+b时：
当 k>0，b>0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限;
当 k>0，b<0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限;
当 k<0，b>0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限;
当 k<0，b<0，这时此函数的.图象经过第二、三、四象限。
当b>0时，直线必通过第一、三象限;
当b<0时，直线必通过第二、四象限。
特别地，当b=0时，直线经过原点O(0，0)。
这时，当k>0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k<0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合
三个规定：
①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向
②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
平面直角坐标系的构成
在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
点的坐标的性质
建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。
对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。
一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。
因式分解的一般步骤
如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，
通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。
注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。
因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。
因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④
因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)
公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
提取公因式步骤：
①确定公因式。②确定商式③公因式与商式写成积的形式。
分解因式注意；
①不准丢字母
②不准丢常数项注意查项数
③双重括号化成单括号
④结果按数单字母单项式多项式顺序排列
⑤相同因式写成幂的形式
⑥首项负号放括号外
⑦括号内同类项合并。
常用函数图像10
各位领导 教师同仁：
我说课的内容是正切函数的性质和图像。
教材理解分析
《1,4.3 正切函数的性质与图像》是人教社A版必修4第一章第4节的第3小节的内容。是前面系统的学习了正弦与余弦函数的概念，图像及其性质以后滴内容
学习目标
1、掌握正切函数的性质及其应用
2、理解并掌握作正切函数图象的方法;
3、体会类比、换元、数形结合等思想方法。
学情分析
由于我们文科平行班基础不太好加之学习函数的图像及性质又是一个难点，自主学习必然会出现困难。加之教学时间紧，任务重，前面地学习也不是很好。
根据教材结构和学情我对具体地教学过程和设计作如下说明：
在学法上大胆采用高效课堂模式，让学生探究，大胆去掉非主线知识内容，内容程序尽量简洁明了，一课一得，便于学生掌握。教学过程共有这样几个方面
一、复习引入
(1)画出下列各角的正切线
(2)复习相关诱导公式
二、探究新知
探究一 正切函数的性质
探究二 正切函数的`图像
三、新知运用
例1 求函数的定义域、周期和单调区间.
四、课堂练习
1、求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区间。
2、 观察正切曲线，写出满足下列条件x的范围：
(1) ; (2) ; (3)
五.小结与课后作业
常用函数图像11
成功之处：
1、本节课的教学设计我是从学生的现状和认知结构、此阶段的知识水平出发来确定教学的预期目标，并分析学生从起点状态过渡到终点状态应掌握的知识技能或应形成的态度与行为习惯；考虑用适当的方式方法向学生呈现教材并提供反馈，创设一个有利于实现教学目标的活动环境，通过多层次多方位的动态活动方式，努力揭示知识发生的过程和学生思维展开的层次，极大限度地调动学生的主动性和激发学生的学习热情。
2、本节课的引入，我是利用动画演示：“装满细沙的漏斗在做单摆运动时，沙子落在与单摆运动方向垂直运动的木板上的轨迹”这一大家所熟悉物理实验来创设情景，即可引发学生的学习兴趣，又让学生体会到数学是来源于现实世界的，从而激发学生的学习热情。
3、整节课能突出重点，突破教学难点：
（1）在学情分析中，我发现学生对三角函数线的认识不到位，针对此问题我利用几何画板所做的课件动态显示随着角度的增大，三角函数线的变化情况
(2)在利用单位圆来画正弦函数图象的过程中，教材是对单位圆十二等分，且等分的份数越多所画的图象越精确，但传统教法是无法把这个过程动态地展示出来的，我用几何画板课件把这个过程动态的演示出来，克服了传统教法的不足，极大地调动了学习热情。
(3)通过单位圆上的动点循环运动，得到正弦函数图象重复出现这一教学过程，直观地把终边相同的角有相同的三角函数值动态地显示出来，使得在由的图象得出的图象这一环节的教学水到渠成。同时也渗透了正弦曲线的周期性、单调性等性质，为下一节研究正、余弦函数的性质作了铺垫。
（4）设计学生的练习：画(1) y =1+cosx,x∈[0,2π]
(2) y =-sinx ，x∈[0,2n]的简图。
通过学生的动手实际操作，将知识转化为能力，形成技能，把多媒体教学与传统教学有机地结合起来。
4、让学生参与到知识的形成过程中,使学生听有所思,思有所获,增强学生学习数学的.信心和兴趣。
5、本节课的教学组织是比较成功的，在教学时我注意从学生已有的知识经验出发，以学生为教学的主体，关注学生在教学过程中的反应，及时加以引导、点评和鼓励，使得学生始终能保持较高的热情投入学习，从学生的课堂练习来看，教学的预期目标基本达到。
6、在教学中注意渗透类比联想的思想、数形结合的思想，以及从特殊到一般的思想方法，注重在传授知识的同时培养能力。
几点遗憾：
1、对学情掌握不够透彻，在引导、启发学生的教学过程中，用时超过了预计时间，所以留给学生的时间就还不够充分，特别是在学生做练习的时候。同时点评的机会不足，这样不利于学生学习兴趣的培养，不利于学生智慧火花的点燃。
2、由于本课节课釆用多媒体教学，在一定程度上教师与学生交流及互动就没有传统教学到位。
3、本节课我注意抓住教学内容的几个兴奋点来进行教学，前半部分我认为做得很好，例如：引入部分、通过代数描点法做不出精确图形的矛盾从而产生几何描点法的需要、通过互动式演示利用正弦线画正弦曲线时的重复性来渗透正弦曲线的周期性等，但在最后一个兴奋点课堂练习：作的简图时，对自变量中关键五点的取点点评不够。
4、在教学过程中教师示范作图的环节不够到位。
教学思考
多媒体辅助教学应该怎样辅？辅到哪一个程度比较合适？好处是显而易见的：生动、直观、形象；有效化解和突破一些传统教学无法突破的难点；增大教学容量等。但问题是：如果过多依赖多媒体，是否会出现替代教师行为过多？是否会影响培养学生的实际动手动力？由于多媒体演示的形象直观，在使学生容易理解的同时，是否也会影响对学生思维能力的培养呢？例如：在本节课的教学中，电脑演示作图可否代替教师的板演作图？这些问题都是在今后教学实践中值得思考、探索和研究的。
常用函数图像12
【知识与技能】
1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.
2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.
3.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.
【过程与方法】
1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.
2.在学习y=ax2+bx+c(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的'思想.
【情感态度】
进一步体会由特殊到一般的化归思想,形成积极参与数学活动的意识.
【教学重点】
①用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c的图象并能说出图象的性质.
【教学难点】
能利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.
一、情境导入，初步认识
请同学们完成下列问题.
1.把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式.
2.写出二次函数y=-2x2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标.
3.画y=-2x2+6x-1的图象.
4.抛物线y=-2x2如何平移得到y=-2x2+6x-1的图象.
5.二次函数y=-2x2+6x-1的y随x的增减性如何？
【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的转化过程.
二、思考探究，获取新知
探究1 如何画y=ax2+bx+c图象，你可以归纳为哪几步？
学生回答、教师点评：
一般分为三步：
1.先用配方法求出y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标.
2.列表,描点,连线画出对称轴右边的部分图象.
3.利用对称点,画出对称轴左边的部分图象.
探究2 二次函数y=ax2+bx+c图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？
常用函数图像13
教学过程中教师应通过情境创设激发学生的学习兴趣，对函数与图像的对应关系应让学生动手去实践，去发现，对一次函数的图象是一条直线应让学生自己得出。在得出结论之后，让学生能运用 “ 两点确定一条直线 ” ，很快做出一次函数的图像。在巩固练习活动中，鼓励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力。
根据学生状况，教学设计也应做出相应的调整 . 如第一环节：探究新知，固然可以激发学生兴趣，但也可能容易让学生关注代数表达式的寻求，甚至部分学生形成一定的认知障碍，因此该环节也可以直接开门见山，直切主题，如提出问题：一次函数的代数形式是 y=kx+b ，那么，一个一次函数对应的图形具有什么特征呢？今天我们就研究一次函数对应的图形特征 — 本节课是学生首次接触利用数形结合的思想研究一次函数图象和性质，对他们而言观察对象、探索思路、研究方法都是陌生的，因而在教学过程中我通过问题情境的创设，激发学生的学习兴趣，引导学生观察一次函数的图像，探讨一次函数的简单性质，逐步加深学生对一次函数及性质的'认识。本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件，一次函数的确定需要两个条件，能由条件求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题。本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础。
由于这节课的知识容量较大，而且内容较难，我们所用的学案就能很好地帮助学生消化理解该知识，。在教学过程中，让学生亲自动手、动脑画图的方式，通过教师的引导，学生的交流、归纳等环节较成功地完成了教学目标，收到了较好的效果。但还存在着不尽人意的地方，由于课的内容容量较大，对于有些知识点，如 “ 随着 x 值的增大， y 的值分别如何化？ ” ，本应给学生更多的时间练习、讨论，以帮助理解消化该知识，但由于时间紧，学生的这一活动开展的不充分。课堂气氛不够活跃，个别学生的主动性、积极性没有充分调动起来。这是今后教学中应该注意的问题。
常用函数图像14
1数轴
11 有向直线
在科学技术和日常生活中,为了区别一条直线的两个不同方向,可以规定其中一方向为正向,另一方向为负相
规定了正方向的直线,叫做有向直线,读作有向直线l
12 数轴
我们把数轴上任意一点所对应的实数称为点的坐标
对于每一个坐标(实数),在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化
数轴上任意一条有向线段的数量等于它的终点坐标与起点坐标的差任意一条有向线段的长度等于它两个断电坐标差的绝对值
2 平面直角坐标系
21 平面的直角坐标化
在平面内任取一点o为作为原点(基准点),过o引两条互相垂直的,以o为公共原点的数轴,一般地,两个数轴选取相同的单位长度这样就构成了一个平面直角坐标系x轴叫横轴,y轴叫纵轴,它们都叫直角坐标系的坐标轴;公共原点o称为直角坐标系的原点;我们把建立了直角坐标系的平面叫直角坐标平面简称坐标平面两坐标轴把坐标平面分成四个部分,它们叫做四个象限
22 两点间的距离
23 中点公式
3 函数
31 常量,变量和函数
在某一过程中可以去不同数值的量,叫做变量在整个过程中保持统一数值的量或数,叫做常量或常数
一般地,设在变活过程中有两个互相关联的变量x,y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量
1. 函数的定义域
2. 对应法则
(1) 解析法
就是用等式来表示一个变量是另一个变量的函数,这个等式叫做函数的解析表达式(函数关系式)
(2) 列表法
(3) 图像法
3 函数的值域
一般的,当函数f(x)的自变量x去定义域D中的一个确定的值a,函数有唯一确定的对应值这个对应值,称为x=a时的函数值,简称函数值,记作:f(a)
32 函数的图像
若把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在直角坐标平面上描出一个点(x,f(x))的集合构成一个图形F,而集F成为函数y=f(x)的图像
知道函数的解析式,要画函数的图像,一般分为列表,描点,连线三个步骤
4 正比例函数
41 正比例函数
一般地,函数y=kx(k是不等于零的常数)叫做正比例函数,其中常数k叫做变量y与x之间的比例函数确定了比例函数k,就可以确定一个正比例函数
正比例函数y=kx有下列性质:
(3) 当k>0时,它的图像经过第一,三象限,y随着x的值增大而增大;当k<0时,他的图像经过第二,四象限,y随着x的增大而减小
(2)随着比例函数的绝对值的增加,函数图像渐渐离开x轴而接近于y轴,因此,比例系数k和直线y=kx与x轴正方向所成的角有关据此,k叫做直线y=kx的斜率
42 反比例函数
一般地,函数y=k/x(k是不等于0的常数)叫做反比例函数
反比例函数y=k/x有下列性质:
(7) 当k>0时,他的图像的两个分支分别位于第一,三象限内,在每一个象限内,y随x的值增大而减小;当k<0时,它的图像的两个分支分别位于第二、四象限内,在每一个象限内,y随x的增大而增大
(8) 它的图像的两个分支都无限接近但永远不能达到x轴和y轴
5 一次函数及其图像
51 一次函数及其图像
如果k=0时,函数变形为y=b,无论x在其定义域内取何值,y都有唯一确定的值b与之对应,这样的函数我们称它为常函数
直线y=kx+b与y轴交与点(0,b),b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称纵截距
52 一次函数的性质
函数y=f(小),在a〈x〈b上,如果函数值随着自变量x的值增加而增加,那么我们说函数f(x)在a〈x
如果分别画出两个二元一次方程所对应的一次函数图像,交点的坐标就是这个方程组的解,这种求二元一次方程组的解法叫图像法
初中数学正方形定理公式
关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。
正方形定理公式
正方形的特征：
①正方形的四边相等；
②正方形的四个角都是直角；
③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
正方形的判定：
①有一个角是直角的菱形是正方形；
②有一组邻边相等的矩形是正方形。
希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。
初中数学平行四边形定理公式
同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。
平行四边形
平行四边形的性质：
①平行四边形的对边相等；
②平行四边形的对角相等；
③平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形的判定：
①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③对角线互相平分的四边形是平行四边形；
④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。
初中数学直角三角形定理公式
下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。
直角三角形的性质：
①直角三角形的两个锐角互为余角；
②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
③直角三角形的'两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；
④直角三角形中30度
角所对的直角边等于斜边的一半；
直角三角形的判定：
①有两个角互余的三角形是直角三角形；
②如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系a^2+b^2=c^2
，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
以上对数学直角三角形定理公式的内容讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学等腰三角形的性质定理公式
下面是对等腰三角形的性质定理公式的内容学习，希望同学们认真看看。
等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两个底角相等；
②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）
上面对等腰三角形的性质定理公式的内容讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，希望同学们在考试中取得很好的成绩。
初中数学三角形定理公式
对于三角形定理公式的学习，我们做下面的内容讲解学习哦。
三角形
三角形的三边关系定理及推论：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度；
三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；
三角形的外角和定理推理：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
三角形的三条角平分线交于一点（内心）；
三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；
三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；
以上对三角形定理公式的内容讲解学习，希望同学们都能很好的掌握，并在考试中取得很好的成绩哦。
常用函数图像15
一、总体概述：
《一次函数图像的性质》这节课主要是在学生熟练掌握一次函数图像画法的基础上，通过观察几组特殊函数图象的特点和函数表达式之间关系归纳总结出函数图像的一般规律。加深对图象表示的理解，进一步体会数形结合以及从特殊到一般的数学思想。
本节课的学习目标主要包括三部分内容：1.如果函数表达式中的k相同，那么他们的函数图像互相平行；2.将直线y=kx沿y轴向上平移b个单位，得到直线y=kx+b；沿y轴向下平移b个单位，得到直线y=kx-b；3.由k、b的正负号判断函数图像所经过的象限。本节课的难点是根据函数表达式中k和b的正负快速的画出图像的草图进而判断出图像所经过的象限。
二：教学流程
上课一开始我让学生自己先动手运用两点法画出y=-2x，y=-2x+3，y=-2x-4这三个函数的图像，接着让给学生观察这三个函数图象的位置关系以及函数表达式中的共同点，并用自己的语言总结；第二步，我以教鞭作为教具取一个固定的点在黑板上动态的演示出直线的上下平移，得出图像的平移与函数表达式之间的关系；再讲最后一个内容之前先让学生观察函数表达式中的b和图像与y轴的交点的纵坐标之间的关系，使学生了解表达式中的'b就是图像与y轴的那个交点，从而得出当y>0时图像交与y轴的正半轴，当y<0时，图像交与y轴的负半轴，再结合k正负决定函数的增减性这个知识点，学会在没有要求的情况下大致的画出函数图象，进而判断出函数所经过的象限。
这节课基本脱离教材的束缚从学生的认知顺序出发，层层递进。在教学当中设计了多个学生自己思考的过程，给学生发表见解的机会，把课堂的大部分时间还给学生，教师做一个引导的作用让学生多思考，自己动手得到结论，让他们的印象更加深刻，在理解的基础上熟练掌握并运用结论。通过随后的提问、练习以及下课前得小测发现大部分学生都掌握的很好，基本完成了学习目标。
三：教学内容的处理。
在“ 一次函数的图象”中有平移的问题，
1.(1)将直线y=3x向下平移2个单位,得到直线_____________________;
(2)将直线y=-x-5向上平移5个单位,得到直线_____________________.
与多位教师讨论后，我们用学案（下面的表）来处理，让学生更多一点感性认识，少一点理论上的结论. 2. “一次函数的性质”中无b对函数的图象的影响，但题中有，要补讲 环节二：概括一次函数图象的性质
一次函数y＝kx＋b有下列性质：
（1） 当k＞0时，y随x的增大而______，这时函数的图象从左到右_____；
（2） 当k＜0时，y随x的增大而______，这时函数的图象从左到右_____.
（3）当b＞0时，这时函数的图象与y轴的交点在：
（4）当b＞0时，这时函数的图象与y轴的交点在：
满意之笔
一、在本节课的引入部分采用班级里的真人真事（学生每天上学这一过程） “在过程
中涉及到哪些量？”“假定每位同学各自都是匀速直线运动的，那速度、时间、路程之间有什么关系？”“路程是时间的一次函数吗？”等过渡性的问题既复习回顾了上节课的知识又为一次函数图像的概念引出作了铺垫。
二、大胆对教材作大幅度调整、修改
①对知识内容的完整性作了补充。 一次函数的图象的知识要点：一次函数几何形状：一条直线；一次函数图象的画法；一次函数图象与坐标轴的交点坐标。教材对“一次函数图象的画法”阐释得不太完整、详尽。学习函数的图象需要培养学生数形结合的思想，一次函数图象又是所有函数图象中最简单的一种，是以后学习其他复杂函数的基础，所以整体全面地学习一次函数的图象能为学生以后学习其他复杂函数提供思路样本、节省学习时间。画出上述函数的图像。图像还是一条直线吗？此题为拓展知识点：当一次函数的自变量限制在某一范围时一次函数的图象是一条射线或线段而特地设计的。至于如何快速地画出射线或线段呢，让学生讨论后给出总结：
②对例题的处理:对例1作两处调整：一是对题目的设置，二是对题目的讲解次序。 为更好阐述当一次项的系数为分数或小数时，如何画一次函数的图象（自变量可取任何数），特在例1中添加了画（2） ,问学生取怎样的两个点使作图方便简洁，让学生自由发挥充分讨论后总结：一般取整数点。 在讲解次序上，先解决(1)(2)(3)小题的作图，归纳方法；再解决如何求(1)(2)(3)小题的函数图象与坐标轴的交点坐标，归纳拓展为一般情况：与y轴交点坐标（0，b） 与x轴的交点坐标
遗憾之处：
一、时间把握不准。由于我在原教材的基础上加宽了知识点的面，拓展了知识点的深度，个别环节还需要小组活动或学生个别上台动手操作，而我又想将这所有的内容在一节课内完成，似乎太高估了自己和学生的能力。所以我想这么多内容可以更宜分开两节课来上吧。
二、部分内容上处理出现失误：初探索一次函数y=x的画法时，我直接自己硬性规定先取这样五个点：(-2,-2), (-1,-1) , (0,0) , (1,1) , (2,2),而没有先征求学生的意见，看看他们是怎么取的，也没有解释为什么要取这五个点（理由应是：这五个点分布均匀，它们的坐标较简单，有代表性）。
三、表扬的力度不够，有几个成绩靠后的学生踊跃的举手回答问题，我没有及时的给予鼓励和表扬。
总之，通过教学反思，使我再次体会到：教学是一门艺术。因此我要经常反思、总结，使这门艺术不断贴近学生发展的需求，从而不断提高自己的课堂教学能力。
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