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宜昌市中考数学试题解析(3)
解答： (1)证明：∵DO⊥AB，
∴∠DOB=∠DOA=90°，
∴∠DOB=∠ACB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△DOB∽△ACB;
(2)解：∵∠ACB=90°，
∴AB= = =10，
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB，
∴DC=DO，
在Rt△ACD和Rt△AOD中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AOD(HL)，
∴AC=AO=6，
设BD=x，则DC=DO=8﹣x，OB=AB﹣AO=4，
在Rt△BOD中，根据勾 股定理得：DO2+OB2=BD2，
即(8﹣x)2+42=x2，
解得：x=5，
∴BD的长为5;
(3)解：∵点B′与点B关于直线DO对称，
∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D，
∵∠B为锐角，
∴∠OB′D也为锐角，
∴∠AB′D为钝角，
∴当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，
∵△DOB∽△ACB，
∴ = = ，
设BD=5x，
则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，
∵AB′+B′O+BO=AB，
∴5x+4x+4x=10，
解得：x= ，
∴BD= .
点评： 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识;本题难度较大，综合性强，特别是(2)(3)中，需要根据题意列出方程，解方程才能得出结果.
21.(8分)(2015宜昌)如图，已知点A(4，0)，B(0，4 )，把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动.其中∠EFD=30°，ED=2，点G为边FD的中点.
(1)求直线AB的解析式;
(2)如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y= (k≠0)的解析式;
(3)在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F?如果能，求出此时反比例函数的解析式;如果不能，说明理由.
考点： 反比例函数综合题..
分析： (1)设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入，组成方程组，解方程组求出k、b的值即可;
(2)由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出点D坐标，得出点F、G坐标，把点G坐标代入反比例函数求出k即可;
(3)设F(t，﹣ t+4 )，得出D、G坐标，设过点G和F的反比例函数解析式为y= ，用待定系数法求出t、m，即可得出反比例函数解析式.
解答： 解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A(4，0)，B(0，4 )，
∴ ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为：y=﹣ x+4 ;
(2)∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，
∴EF=2 ，DF=4，
∵点D与点A重合，
∴D(4，0)，
∴F(2，2 )，
∴G(3， )，
∵反比例函数y= 经过点G，
∴k=3 ，
∴反比例函数的解析式为：y= ;
(3)经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F;理由如下：
∵点F在直线AB上，
∴设F(t，﹣ t+4 )，
又∵ED=2，
∴D(t+2，﹣ t+2 )，
∵点G为边FD的中点.
∴G(t+1，﹣ t+3 )，
若过点G的反比例函数的图象也经过点F，
设解析式为y= ，
则 ，
整理得：(﹣ t+3 )(t+1)=(﹣ t+4 )t，
解得：t= ，
∴m= ，
∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：y= .
点评： 本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、坐标与图形特征、解直角三角形、解方程组等知识;本题难度较大，综合性强，用待定系数法确定一次函数和反比例函数的解析式是解决问题的关键.
22.(10分)(2015宜昌)全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品.
(1)若2014年社区购买健身器材的费用不超过总投入的 ，问2014年最低投入多少万元购买药品?
(2)2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少 ，但社区在这两方面的总投入仍与2014年相同.
①求2014年社区购买药品的总费用;
②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的 ，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的 ，求2015年该社区健身家庭的户数.
考点： 一元二次方程的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用..
专题： 应用题.
分析： (1)设2014年购买药品的费用为x万元，根据购买健身器材的费用不超过总投入的 ，列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果;
(2)①设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为(30﹣y)万元，2015年购买健身器材的费用为(1+50%)(30﹣y)万元，购买药品的费用为(1﹣ )y万元，根据题意列出方程，求出方程的解得到y的值，即可得到结果;
②设这个相同的百分数为m，则2015年健身家庭的药品费用为200(1+m)，根据2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的 ，列出方程，求出方程的解即可得到结果.
解答： 解：(1)设2014年购买药品的费用为x万元，
根据题意得：30﹣x≤ ×30，
解得：x≥10，
则2014年最低投入10万元购买商品;
(2)①设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为(30﹣y)万元，
2015年购买健身器材的费用为(1+50%)(30﹣y)万元，购买药品的费用为(1﹣ )y万元，
根据题意得：(1+50%)(30﹣y)+(1﹣ )y=30，
解得：y=16，30﹣y=14，
则2014年购买药品的总费用为16万元;
②设这个相同的百分数为m，则2015年健身家庭的药品费用为200(1+m)，
2015年平均每户健身家庭的药品费用为 (1﹣m)万元，
依题意得：200(1+m) (1﹣m )=(1+50%)×14× ，
解得：m=± ，
∵m>0，∴m= =50%，
∴200(1+m)=300(户)，
则2015年该社区健身家庭的户数为300户.
点评： 此题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键.
23.(11分)(2015宜昌)如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点.
(1)求∠FDE的度数;
(2)试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论;
(3)当G为线段DC的中点时，
①求证：FD=FI;
②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比 .
考点： 圆的综合题;等腰三角形的判定;直角三角形斜边上的中线;勾股定理;三角形中位线定理;平行四边形的判定与性质;菱形的性质..
专题： 综合题.
分析： (1)根据直径所对的圆周角是直角即可得到∠FDE=90°;
(2)由四边形ABCD是菱形可得AB∥CD，要证四边形FACD是平行四边形，只需证明DF∥AC，只需证明∠AEB=∠FDE，由于∠FDE=90°，只需证明∠AEB=90°，根据四边形ABCD是菱形即可得到结论;
(3)①连接GE，如图，易证GE是△ACD的中位线，即可得到GE∥DA，即可得到∠FHI=∠FGE=∠FGE=90°.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=GE，从而有 = ，根据圆周角定理可得∠1=∠2，根据等角的余角相等可得∠3=∠4，根据等角对等边可得FD=DI;②易知S⊙O=π( )2= πm2，S菱形ABCD= 2m2n=2mn，要求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比，只需得到m与n的关系，易证EI=EA=m，DF=AC=2m，EF=FI+IE=DF+AE=3m，在Rt△DEF中运用勾股定理即可解决问题.
解答： 解：(1)∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE=90°;
(2)四边形FACD是平行四边形.
理由如下：
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