用向量法证明

用向量法证明

用向量法证明

步骤1

记向量i ，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c

∴a+b+c=0

则i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)

=-asinC+csinA=0

接着得到正弦定理

其他

步骤2.

在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中，

b/sinB=c/sinC

步骤3.

证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.

作直径BD交⊙O于D. 连接DA.

因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度

因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R

类似可证其余两个等式.希望对你有所帮助!

2

设向量AB=a,向量AC=b，向量AM=c 向量BM=d,延长AM到D使AM=DM，连接BD,CD,则ABCD为平行四边形

则向量a+b=2c (a+b)平方=4c平方 a平方+2ab+b平方=4c

平方 (1)

向量b-a=2d (b-a)平方=4d平方 a平方-2ab+b平方=4d

平方 (2)

(1)+(2) 2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

AM^2=1/2(AB^2+AC^2)-BM^2

3

已知EF是梯形ABCD的中位线，且AD//BC，用向量法证明梯形的中位线定理

过A做AG‖DC交EF于P点

由三角形中位线定理有：

向量EP=向量BG

又∵AD‖PF‖GC且AG‖DC ∴向量PF=向量AD=向量GC(平行四边形性质)

∴向量PF=(向量AD+向量GC)

∴向量EP+向量PF=(向量BG+向量AD+向量GC)

∴向量EF=(向量AD+向量BC)

∴EF‖AD‖BC且EF=(AD+BC)

得证

4

先假设两条中线AD,BE交与P点

连接CP,取AB中点F连接PF

PA+PC=2PE=BP

PB+PC=2PD=AP

PA+PB=2PF

三式相加

2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF

3PA+3PB+2PC=2PF

6PF+2PC=2PF

PC=-2PF

所以PC,PF共线，PF就是中线

所以ABC的三条中线交于一点P

连接OD,OE,OF

OA+OB=2OF

OC+OB=2OD

OC+OC=2OE

三式相加

OA+OB+OC=OD+OE+OF

OD=OP+PD

OE=OP+PE

OF=OP+PF

OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP

由第一问结论

2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP

2PA+2PB+2PC=0

1/2AP+1/2BP+1/2CP

所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP

向量OP=1/3(向量OA+向量OB+OC向量)

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