证明面面垂直的方法

时间：2021-10-04 17:30:03 证明范文我要投稿

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证明面面垂直的方法

为方便，下面#后的代表向量。

证明面面垂直的方法

#CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.

对角线的点积：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD

两组对边平方和分别为：

AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC

AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA

则AB2+CD2=AD2+BC2等价于#BD·#BC=#BD·#BA等价于#AC·#BD=0

所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等

证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成

一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面

然后转化成

一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线

也可以运用两个面的法向量互相垂直。

这是解析几何的方法。

一、初中部分

1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的.两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0

2斜率两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。

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