综合法证明不等式

综合法证明不等式

综合法证明不等式

若正数a，b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是?

解：ab-3=a+b>=2根号ab

令T=根号ab,

T^2-2T-3>=0

T>=3 or T<=-1(舍)

即，根号ab>=3，

故，ab>=9 (当且仅当a=b=3是取等号)

已知a，b，c为正实数，用综合法证明

2(a^3 + b^3 +c^3)≥a^2 (b+c)+b^2 (a+c)+c^2 (a+b)

证明：a>0,b>0--->a+b>0,(a-b)^2>=0

--->(a+b)(a-b)^2>=0

--->(a^2-b^2)(a-b)>=0

--->a^3-a^2*b-ab^2+b^3>=0

--->a^3+b^3>=ba^2+ab^2

同理b^3+c^3>=cb^2+bc^2,c^3+a^3>=ac^2+ca^2

三同向的不等式的两边相加得到

2a^3+2b^3+2c^3>=a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b

就是2(a^3+b^3+c^3)>=(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2.证完

1.若a，b∈R，则lg(a^2+1)

2.设x>1，则x/(1+x)+1/2与1的大小关系为

3.不等式

1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，

对满足a>b>c恒成立，则β的取值范围是

1.若a，b∈R，则lg(a^2+1)

解：lg(a^2+1)

<==>a^2+1

<==>a^2

<==>|a|<|b|≠=>a

且a|a|<|b|,

∴lg(a^2+1)

2.设x>1，则x/(1+x)+1/2与1的大小关系为

解：x/(1+x)+1/2-1

=(x-1)/[2(x+1)]>0,

∴x/(1+x)+1/2>1.

3.不等式

1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，

对满足a>b>c恒成立，则β的取值范围是

解：注意a-b+b-c=a-c,原不等式化为

β<=(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]恒成立,

而(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]>=4,

∴β的取值范围是(-∞，4]。

综合法是不等式证明的一种方法，这种方法是：根据不等式的性质和已经证明过的不等式来进行。 综合法.从已知(已经成立)的不等式或定理出发，逐步推出(由因导果)所证的不等式成立.例如要证 ，我们从 ，得 ，移项得 .综合法的证明过程表现为一连串的“因为……所以……”，可用一连串的.“ ”来代替.

综合法的证明过程是下一节课学习的不等式的证明的又一必须掌握的方法——分析法的思考过程的逆推，而分析法的证明过程恰恰是综合法的思考过程。 实际上在前面两个重要的不等式平方不等式和均值定理的证明及不等式的性质证明当中，我们已经运用了综合法，但当时只是没有提出或采用这个名字而已。本节课是不等式的证明的每第二节课，由于立方不等式已移至阅读材料当中，故例题只有一个，是运用平方不等式来作为基础工具。

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