勾股定理的无字证明

时间:2021-10-04 15:28:12 证明范文 我要投稿
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勾股定理的无字证明

勾股定理的无字证明

学习勾股定理时,我们学会运用图(1)验证它的正确性;图中大正方形的面积可表示为 ,也可表示为 ,即 由此推出勾股定理 ,这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”。

勾股定理的无字证明

(1)请你用图(2)(2002年国际数字家大会会标)的面积表达式验证勾股定理(其中四个直角三角形全等)。

(2)请你用(3)提供的图形进行组合,用组合图形的面积表达式验证 :

(x+y)^2=x^2+2xy+y^2

(3)请你自己设计图形的组合,用其面积表达式验证:

(x+p)(x+q)=x^2+px+qx+pq=x^2+(p+q)x+pq

2这个定理有许多证明的方法,其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(Elisha Scott Loomis)的' Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。

有人会尝试以三角恒等式(例如:正弦和余弦函数的泰勒级数)来证明勾股定理,但是,因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理,所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。

利用相似三角形的证法

利用相似三角形证明

有许多勾股定理的证明方式,都是基于相似三角形中两边长的比例。

设ABC为一直角三角形, 直角于角C(看附图). 从点C画上三角形的高,并将此高与AB的交叉点称之为H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似,因为在两个三角形中都有一个直角(这又是由于“高”的定义),而两个三角形都有A这个共同角,由此可知第三只角都是相等的。同样道理,三角形CBH和三角形ABC也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系:

因为BC=a,AC=b,AB=c

所以a/c=HB/a and b/c=AH/b

可以写成a*a=c*HB and b*b=C*AH

综合这两个方程式,我们得到a*a+b*b=c*HB+C*AH=C*(HB+AH)=c*c

换句话说:a*a+b*b=c*c

[*]----为乘号

欧几里得的证法

在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下:

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理) 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。 证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

其证明如下:

设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A 和 G 都是线性对应的,同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC,所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的,所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性,所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB。 同理可证,四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC。 把这两个结果相加, AB+ AC = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL,BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形,因此AB + AC = C。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的

其余见: 勾股定理的美妙证明 [梁卷明网站: 梁卷明

2009年3月24日晚,我参加了广西教研网的主题研讨活动之后,对勾股定理的证明作了进一步的研究,2009年3月28日下午我终于发现了一个美妙的证明:

勾股定理:如图,直角三角形ABC中:AC+BC=AB.

证明:如图1,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR,则易知⊿ABC≌⊿RBS,从而点Q必在SR上,又把梯形ABNM沿BR方向平移,使点B与点R重合,则梯形ABNM平移至梯形PRQT的位置;显然⊿RSB≌⊿PTA, 如图2,再把⊿RSB沿BA方向平移,使点B与点A重合,则⊿RSB必与⊿PTA重合!

故有:正方形ACNM的面积+正方形CBSQ的面积=正方形BAPR的面积,即得:AC+BC=AB.

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