分式和分式方程
1.4 分式与分式方程
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【考点透视】
1.了解分式的概念，能求出分式值为零时字母的值，知道分式无意义的条件
2.会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除及混合运算与分式的化简求值。 3.能正确求出可化为一元一次方程的分式方程的根，能结合实例解释解分式时产生增根的原因，能结合现实情境列分式方程解决简单的实际问题。
【知识梳理】
1.分式的概念：分式： 2.弄清分式有意义,无意义和值为零的条件
分式有意义的条件是分母不为零;无意义的条件是分母为零;值为零的条件是分子为零且分母不为零,弄懂这几个条件是做分式题很重要的一点.
3.分式基本性质的灵活应用
分式的基本性质：
分式的约分： 分式的通分： 最简公分母: （注意： 利用分式的基本性质熟练进行约分和通分,这是分式运算的基础,利用分式的基本性质时,要注意分子、分母同乘以和除以不为零的整式.） 4.分式的运算
（1）分式的加减法法则
（2）分式的乘除法法则 （3）分式的乘方
（4）分式的混合运算
分式的四则运算主要出现在化简中,与通分、约分、分式的基本性质联合,要保证最后结果为最简分式.
5. 分式方程
（1）解分式方程：步骤 （2）列分式方程解应用题
6. 条件分式求值的常用技巧 （1）参数法：当已知条件形如化简的分式时，通常设代入所求代数式。 （2）整体代换法 像已知把1x?
1x?1y?3,求
2x?3xy?2yx?2xy?y
xa?yb?xazc?yb?zc
，所要求值的代数式是一个含x、y、z、a、b、c而又不易
?k（k就是我们常说的参数），然后将其变形为x?ka,y?kb,z?kc
的值这样的问题， 合化
简
所求
代
数式
?
已1y
知条件变换成适的形式
?
，如35
把
?3化为x?y??3xy,代入
2x?3xy?2yx?2xy?y
中，得
（2x?y)?3xy(x?y)?2xy
?6xy?3xy?3xy?2xy
,这样就
达到整体代入、化简求值的目的。 7.裂项法
裂项法即把一项化为两项，使计算得以顺利进行。 常用裂项有：
1n?(n?1)
?1n?
1
;
1
?1(
1
?
12n?1
).
n?1(2n?1)(2n?1)22n?1
【考题例析】
1.识别分式的概念
例1. （ 2011重庆江津）下列式子是分式的是( ) A.
x2
B.
xx?1
C.
x2
?y D.
x3
例2、如果分式
|x|-1x?3x?2
2
的值为零,那么x等于( )
A.-1 B.1 C.-1或1 D.1或2 例3. （2011浙江杭州）已知分式
x?3x?5x?a
2
，当x＝2时，分式无意义，则a＝ ，当a
时，使分式无意义的x的值共有 个． 2.分式的基本性质的识别 例2、下列各式与
x?yx?y
相等的是( )
A.
(x?y)?5(x?y)?5
; B.
2x?y2x?y
; C.
(x?y)x?y
2
2
2
(x?y) D.
x?yx?y
2
222
点评:分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式.
3.化简求值题 例3、(1)已知a+
1a
=5, (2)已知
x?4x?3x?1
x
2
2
=0,
则
a?a?1
a
2
42
=________. 先化简后求
m?nmn
2
2
x?3
?
93?x
的值.
例４. （2011 江苏南通，）设m＞n＞0，m＋n＝4mn，则A.
1m
22
的值等于
D. 3
2
例５. （2011 四川乐山）若m为正实数，且m?４.分式方程的解法及应用 解下列分式方程： 例１.（1）
xx?2
?
6x?2
?3，则m?
1m
2
?1 （2）
2x?1
?
3x?1
?
6x?1
2
例２.用换元法解方程x2?
1x
2
?x?
1x
?4，可设y?x?
1x
，则原方程可化为关于y的方程
是 . 【巩固练习】 一．选择题 1、函数y=
1x?1
2
中自变量x的取值范围是( ).A.x≠-1 B.x>-1 C.x≠1 D.x≠0
2、若分式
x?9x?4x?3a
b
2
2
的值为零,则x的值为( ).A.3 B.3或-3 C.-3 D.0
3、化简
a?b
?
a(a?b)
的结果是( ).A.
a?ba
B.
a?ba
C.
b?aa
D.a+b
4、当分式
|x|?3x?3
2
的`值为零时,x的值为( ).A.0 B.3 C.-3 D.±3
mm?3
mm?3
mm?3
m3?m
5、化简
m?3m9?m
2
的结果是( )A. B.- C. D.
6、 将分式
xyx?y
中的x,y都扩大2倍,分式的值 ( )
A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.不变 D.缩小2 7、化简 A.
12m?9
2
2
+
2m?3
的结果是( )
2m?3
m?6m?9
B. C.
2m?3
D.
2m?9m?9
2
二．解答题 1.计算:
3.化简:(
４.（2011重庆江津）先化简,再求值:
【中考链接】
11?x
?
x1?x
. .先化简,再求值:
x?1x?1
2
+x(1+
1x
),其中
-1.
aa?1
?
2a?1
1
)÷(1-
1a?1
). 4.化简:m+n-
(m?n)m?n
2
.
x?1x?2
2
?(
1x?2
?1),其中x?
13
·
1.（2010.潍坊中考）分式方程
xx?5
?
x?4x?6
的解是_________.
2．（2011江苏泰州）（a﹣b﹢
b
2
a?ba?ba
)?
a?ba
2ab?b
a
2
3. （（2011山东济宁）计算：
?(a?)
ab
ba
4.(2011·山西)已知a-6a+9与│b-1│互为相反数,则式子(
1x
1y
66x?3
2
?)÷(a+b)的值为____.
5.(2011·天津)已知
?,则分式
60x
2x?3xy?2yx?2xy?y
的值为________.
6. （2012.潍坊）方程?
a
2
?0的根是 ．
7、(2012吴中区一模)化简 (A)
1a?1
a?1
?a?1的结果是( )
(B)－
1a?1
(C)
3a?1
2a?1a?1
(D)
2
a?a?1a?1
2
8. (2012.辽宁营口市)先化简： 作为a的值代入求值.
9.(2011.呼和浩特)若
Ax?5
?
Bx?2
(?a?1)?
a?4a?4
a?1
，并从0，?1，2中选一个合适的数
?
5x?4x?3x?10
2
,试求A、B的值.
10.(2011·广东)如图1-16-1小明家、王老师家、学校在同一条路上,小明家到王老师家的路程为3km,王老师家到学校的路程为0.5km,由于小明的父母战斗在抗“非典”第一线,为了使他能按照到校,王老师每天骑自行车接小明上学.?已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用了20min,问王老师的步行速度及骑自行车速度各是多少?
学校
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