湖北八校二次届联考数学(理科)试题
湖北省
鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳五中 襄阳四中
八校
2014届高三第二次联考
数 学（理工类）
命题学校：孝感高中 命题人：彭西骏 韩松桥 审题人：徐新斌 黄 鹏 考试时间：2014年3月20日下午15：00—17：00
本试卷共4页，共22题，其中第15、16题为选考题。满分150分。考试用时120分钟。
★ 祝考试顺利 ★
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选。答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z满足(1?i)z?1?2i(其中i是虚数单位)，则z对应的点位于复平面的 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设集合A?{xx2
?(a?3)x?3a?0}，B?{xx2?5x?4?0}，集合A
B中所有元素之和为8，
则实数a的取值集合为
A．{0} B．{0，3}
C．{1，3,4} D．{0，1，3,4} 3．下列说法正确的是
A．“a?b”是“a2?b2”的必要条件 B．自然数的平方大于0 C．“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题为真
D．存在一个钝角三角形，它的三边长均为整数
4．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是
A．48cm3 B．98cm3 C．88cm3 D．78cm3
第4题图
5http://www.unjs.com．把函数y?sinx?x?R?的图象上所有的点向左平移?
6
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐
标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为
A．y?sin?
?2x?
???
3??,x?R
B．y?sin?
?2x?
???
3??,x?R C．y?sin??1
???2
x?6??,x?R
D．y?sin??1
???2
x?6??,x?R
6．已知双曲线x2y2
a2?4
?1 (a?0)的一条渐近线与圆
（x?3)2?y2?8相交于M,N两点，且MN?4，则此双曲线的离心率为
A
B
C
D．5
7．把一个带+q电量的点电荷放在r轴上原点处，形成一个电场，距离原点为r处的单位电荷受到的电
场力由公式F=kq
r
2（其中k为常数）确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力的作用下，沿着r轴的方向从r?a处移动到r?2a处，与从r?2a处移动到r?3a处，电场力对它所做的功之比
为 A．
23 B．13 C．3
2
D．3
8．如图，在半径为R的圆C中，已知弦AB的长为5，则ABAC?
A．
5
25C
2
B．
2 C．5
252
R D．2R B
9．将一颗骰子连续抛掷三次, 已知它落地时向上的点数恰好依次成等差数列, 那么这
三次抛掷向上的点数之和为12的概率为 第8题图
A．
518 B． 19 C．3
18 D．172
10．函数f(x)?????x2?2x?3,x?0
lnx,x?0
，直线y?m与函数f(x)的图像相交于四个不同的点，从小到大，
??2?交点横坐标依次记为a,b,c,d，下列说法错误的是
A．m??3,4?
B．abcd???
0,e4
?
C．a?b?c?d???5
1?
e?
e?2,e6?1?e2?2??
D．若关于x的方程f?x??x=m恰有三个不同实根，则m取值唯一
二、填空题：本大题共6个小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡．．．
对应题号．．．．
的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一） 必考题（11—14题）
11．记集合A??(x,y)|x2?y2?4?
和集合B??(x,y)|x?y?2?0,x?0,y?0?表示的平面区域分
别为?1和?2，若在区域?1内任取一点M(x,y)，则点M落在区域?2的概率为
12．已知正数x, y, z满足x+2y+3z=1, 则
1x?2y?42y?3z?9
3z?x
的最小值为 ．
13．定义某种运算?，S?a?b的运算原理如右图所示．
设f(x)?(0?x)x?(3?x).则f(3)?______；
f?x?在区间??3,3?上的最小值为______．
？
14．数学与文学之间存在着许多奇妙的联系.诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，？
水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！
二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；
三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：11位的回文数总共有 个．
(二) 选考题（请考生在第15、16两题中任选一题做答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号所在方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．） 15．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD//AC． 过点A 作圆
的切线与DB的延长线交于点E， AD与BC交于点F．若AB = AC，
AE = BD = 4，则线段CF的长为______．
16．（选修4-4：坐标系与参数方程）
第15题图 在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长
?度．已知曲线C?3?x?2?5
t1:?
（t为参数）和曲线C2:?sin2??2cos?相交于A、B两点，设线???
y?45t段AB的中点为M，则点M的直角坐标为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
已知向量m=（2cos2
x，n=（1,sin2x），函数f(x)?m?n．
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）在?ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的`对边，且f(C)?3,c?1，ab?2，且a?b，
求a,b的值．
18．（本小题满分12分）
已知数列?a1
?
n?的前n项和是Sn，且Sn?3
an?1(n?N)．
（Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）设b?
，T1n?log4(1?Sn?1)(n?N)n?bb?1b??1100712
2b3b，求使Tn?成立的最小的正整数nbn?12016
n的值．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥C?PAB中，AB?BC,PB?BC,PA?PB?5,
AB?6，BC?4,点M是PC的中点，点N在线段AB上,且MN?AB． （Ⅰ）求AN的长；
（Ⅱ）求二面角M?NC?A的余弦值．
20．（本小题满分12分） 第19题图
甲乙两个地区高三年级分别有33000人，30000人，为了了解两个地区全体高三年级学生在该地区
二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个地区一共抽取了
105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在[120，150]内为优秀．
甲地区：
乙地区：
（Ⅰ）计算x，y的值；
（Ⅱ）根据抽样结果分别估计甲地区和乙地区的优秀率；若将此优秀率作为概率，现从乙地区所有
学生中随机抽取3人，求抽取出的优秀学生人数的数学期望；
（Ⅲ）根据抽样结果，从样本中优秀的学生中随机抽取3人，求抽取出的甲地区学生人数η的分布
列及数学期望．
21．（本小题满分13分）
如图所示，已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1,0),C1的中心
和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4,0）的直线l与抛物线C2分别相交于A、B两点. （Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程； （Ⅱ）求证：以AB为直径的圆过原点； （Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆
C1有公共点，求椭圆C1的长轴长的最小值．
22．（本小题满分14分）
第21题图
已知函数f(x)?ln(1?x)?x?
k2
x2
,(k?0,且k?1)． （Ⅰ）当k?2时，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)的单调减区间；
（Ⅲ）当k?0时，设f(x)在区间[0,n](n?N*
)上的最小值为bn，令an?ln(1?n)?bn，
求证：a1a?a1a3
a?????a1a3???a2n?1a?2an?1?1,(n?N*)． 22a42a4???a2n
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