抛物线的十个最值问题

关于抛物线的十个最值问题

本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下:

定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.

证明:不妨设抛物线的极坐标方程为 ρ=                   ,则显然有ρ≥    ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π (k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.

定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.

证明:设抛物线极坐标方程为 ρ=                 ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有

         │AB│=ρ1+ρ2 =                 +                             =                       ≥ 2p =通径长,

其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕.

定理3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则

          │MA│m in =                                              

证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2  = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.

定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点,

F是焦点,M是抛物线上的动点,则                  

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