关于抛物线的十个最值问题
本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下:
定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.
证明:不妨设抛物线的极坐标方程为 ρ= ,则显然有ρ≥ ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π (k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.
定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.
证明:设抛物线极坐标方程为 ρ= ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有
│AB│=ρ1+ρ2 = + = ≥ 2p =通径长,
其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕.
定理3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则
│MA│m in =
证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到 x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.
定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点,
F是焦点,M是抛物线上的动点,则
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