比较在数学教学中的应用

比较在数学教学中的应用

“比较”指的是人脑把一些事物和现象放在一起进行对比的思维过程。这是一种常用的思维方式，我们在生活、工作、学习中经常用到。 

比较有三个主要作用：1、揭示某些事物的共性。世界上事物繁多，有些事物没有共同之处，有些事物之间存在着某些共同的特点。有些时候，我们需要知道这些事物的共同属性。通过对所要研究的事物进行比较，可以找出它们的共同点。例如、凸多面体概念的教学。常常是先出示一些不同形状的凸多面体，让学生对它们进行比较，找出它们的共同点，抽象出凸多面体的定义。2、揭示某些事物的不同点。世界是一个相对的世界，绝对的事物是不存在的。即便是非常相近的同类事物，也有不同之处。有时候，人们希望知道这些事物的不同点。通过对这些事物的比较可以找出它们的不同点。例如、等差数列和等比数列是两个相似的概念。如果把两个定义放在一起进行比较，就可以发现它们的不同点，就而把两个概念区分开。3、揭示某些事物之间的联系。事物和事物之间存在着千丝万缕的联系，有的显而易见，有的深不可测。然而，当我们把这些事物放在一起加以比较之后，就有可能发现他们之间的联系。 

数学是研究数量关系和空间形式的科学。说白了，就是研究与数学有关的事物之间的不同点、相同点和它们之间的内在联系。因此，在数学教学和数学学习中经常使用到“比较”的方法。 

一、    定义概念 

数学的特点是逻辑严谨。在科学的数学体系中，知识就像一根链条，前后环环相扣，前面的知识是后面知识的基础，后面的知识是在前面知识的基础上演绎而得到的。演绎推理需要有一定的基础，如果从后向前追溯推理的根据，那么总能够找到一些没有推理依据的数学知识。这就是数学中的基本概念和基本规律。譬如，几何中的“点”、“经过三个不共线的点有且只有一个平面”、自然数中的“0”。因为基本的概念和规律没有推理的基础，所以，教学这些知识，通常是先对一些特殊的事例进行比较，找出它们的共同点，再概括出概念的定义或者归纳出规律。例如、教学“正数”的定义，可以先让学生拿5，1.5，10， ，8848与0相比较，找出它们的共同特点：都大于0。再引导学生概括出正数的定义：大于0的数叫做正数。 

二、揭示规律 

规律即事物的共性。可以通过对具体例子的比较获得。如，在中学一年级代数课中教学加法的交换律，可以先让学生比较下面几个算式，找出它们的共同特点，然后归纳出一般规律。 

3+5=5+3； 

  

1.5+3.3=3.3+1.5； 

…… 

通过比较，发现它们等号右边的加式，都是左边的加式交换加数的位置得到的。由此得到“两个数相加，交换加数的位置，和不变”的规律。 

有一些数学知识虽然能够通过演绎推理的方法得到，但是，教学起来有些麻烦，学生不容易接受。对于这些知识，可以采用演绎推理和比较归纳相结合的方法教学。先进行比较归纳，使学生初步认识到所学规律的正确性，再从理论上进一步证明，使学生坚信所学规律是可靠的。比如，在中学教学数列极限的运算法则。可以先让学生计算数列 

 ……； 

与3，3，3，3，……； 

的极限，以及这两个数列和的极限，再计算两个常数列 

1，1，1，1，……； 

与1.5，1.5，1.5，1.5，……； 

的极限，以及这两个数列和的极限。最后让学生对两个实例加以比较，找出它们的共同点，就而归纳出数列极限加法的运算法则： 

  

中学生虽然没有专一地学习逻辑学，但他们凭自己的经验知道，这种通过不完全归纳法得到的结论不一定正确，对刚才归纳出的结论可能半信半疑。要使他们确信这一法则的正确性，还必须使用极限的“ε-N”定义进行严格的证明。因为“ε-N”实在是太难了，学生很难接受“ε-

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