举例说明算理和算法
举例说明算理和算法小数乘小数运算的算理究竟是什么？算理与算法的关系是什么？
（1）小数乘小数运算的算理究竟是什么？算理与算法的关系是什么？算理是计算的理论依据，是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识。
算理是计算的理论依据，是由数学概念、性质、定律等内容构成的数学基础理论知识。而算法是实施四则计算的基本程序和方法，通常是算理指导下的人为规定。新课程标准把义务教育阶段数学课程目标明确划分成了知识技能目标和过程性目标两大类，其实知识技能与过程性目标作为数学课程目标的两个组成部分并无主次之分，它们是一个互相影响、相辅相成的有机体，因此，在计算教学中理解算理固然重要，掌握算法同样不容忽视。
（2）教师在使学生理解算理上有哪些好的经验和做法，举例说明。
教学片段： 已知36×28=1008 36×280= 36×2.8= 36×0.28= 3.6×2.8= 师：先观察，再说说自己体会。 生1：一个因数不变另，另一个扩大10 倍，积也扩大了10 倍。 生2：36×2.8 28 缩小10 倍，是2.8，积是1 位小数.。师：那么积的小数点应该点在哪里呢？ 生3：点在0 和8 之间。 师：怎么想的？ 生4：一个因数缩小10 倍，另一个因数不变，积也缩小10 倍，所以点在0 和8 之间。 生5；因数中是一位小数，所以积也是一位小数。师：那么3.6×2.8 呢？积大概是几位小数？ 生6:一个因数是一位小数，另一位因数也是一位小数，所以，积是两位小数。 师:猜一猜，积是多少,小数点又应该点在哪里呢？ 生7：10.08。师：用计数器验证一下. 学生用计数器验证。 师：能用竖式计算么？（由学生自己完成） 让学生以小组合作学习的方式，自主找出解决问题的办法，让学生尝试自主学习的快乐。分析与反思： 这节课的内容对五年级的学生来说有点难度，它主要是考察学生的运算能力和细心程度。在上完这节课后，我进行了认真的反思，给我的启发： 1、突出了积变化的规律 我认为书上的例3、例4、例5 这3 道例题可以统一到一个知识点来教学。在教学时，教师要先让学生回顾整数乘整数的方法，然后在此基础上，扩展到小数乘小数，把小数也看成是整数，这样每位学生都会做整数乘法，最后，在指导学生在积上应怎样点小数点，这是关键，也是教学难点，要强调整个一道乘法算式中共有几位小数，在积中就点几位小数。其中的道理也要让学生明确，把小数看成整数，是先扩大几倍，最后也要缩小相同的倍数，所以要在积中点几位小数。但在学生实际练习中，我也发现了有一小部分学生小数点仍点错，究其原因，不难发现学生不会数小数点，他们把小数的乘法与加法混淆在一起，因此，教师要对这些学生再复习一下小数加法的方法。 2、突出口算。 教材中没有安排小数乘整数的口算，而实际在口算中由于数目比较小，计算结果可以比较快速的反馈，易于检验学生计算的正确与否，同时可以帮助学生理清计算小数乘整数的计算思路，所以在计算中应该增加小数乘整数的口算练习，让学生说出自己的想法，同时用小数乘整数的意义检验方法的正确性，让所有的学生都知道计算小数乘整数可以看成整数的计算。 3、突出竖式的书写格式。 有了前面对算理的理解，当遇到用竖式计算3.85×59 时，学生不再感到困难，但要他们说出为什么这么写，部分孩子还是不能理解，所以我抓住小数点为什么不对齐了引导学生思考，我们已经将3.85 扩大100 倍，计算的是385 乘59 了，所以根据整数乘法的计算方法计算，而不是小数乘法了，最后还得将积缩小100 倍。 在整节课的学习中，我非常重视在计算教学中算理和算法这个十分重要的课题。通过实践和探索，在计算教学中，我们不防尝试一下这样的教学模式：创设情境 呈现算法 练习巩固 自主解答 明确算理 掌握算法 我们在强调算理的同时，不能忽视计算方法的指导，只有这样，，学生的计算能力才能得到提高。
（3）有的老师认为：“画图的方法很形象，总不能一直画下去吧？”，你如何看待这个问题？学生的想法体现出这个片段活动有哪些价值？
“画图”是帮助解题的好方法
解题时，根据题的内容画图，把题的条件、问题在图上标明，这样有助于我们正确审题，理解题意，从而正确解题，提高我们分析和解决问题的能力。
结合不同的内容画不同的图。通常通过平面图、立体图、分析图、线段图、表格图和思路图等，对题目的条件、问题进行展示。下面分别举例说明。
一、平面图
对于题目中条件比较抽象、不易直接根据所学知识写出答案的问题，可以借助画平面图帮助思考解题。
如，有两个自然数A和B，如果把A增加12，B不变，积就增加72；如果A不变，B增加12，积就增加12O，求原来两数的积。
根据题目的条件比较抽象的特点，不妨借用长方形图，把条件转化为因数与积的关系。先画一个长方形，长表示A，宽表示B，这个长方形的面积就是原来两数的积。如图（l）所示。
根据条件把A增加12，则长延长12，B不变即宽不变，如图（2）；同样A不变即长不变，B增加12，则宽延长12，如图（3）。从图中不难找出：
原长方形的长（A）是120÷12＝10
原长方形的寬（B）是72÷12＝6
则两数的积为1O×6＝6O
借助长方形图，弄清了题中的条件，找到了解题的关键。
再如，一个梯形下底是上底的1.5倍，上底延长4厘米后，这个梯形就变成一个面积为6O平方厘米的平行四边形。求原来梯形面积是多少平方厘米？
根据题意画平面图：
从图中可以看出：上、下底的差是4厘米，而这4厘米对应的正好是1.5－l＝O.5倍。所以上底是4÷（1.5－1）＝8（厘米），下底
是8×1.5＝12（厘米），高是6O÷12＝5（厘米），则原梯形的面积是（8＋12）×5÷2＝5O（平方厘米）。
二、立体图
一些求积题，结合题目的内容画出立体图，这样做，使题目的内容直观、形象，有利于思考解题。
如，把一个正方体切成两个长方体，表面积就增加了8平方米。原来正方体的表面积是多少平方米？
如果只凭想象，做起来比较困难。按照题意画图，可以帮助我们思考，找出解决问题的方法来。按题意画立体图：
从图中不难看出，表面积增加了8平方米，实际上是增加 2个正方形的面，每个面的面积是8÷2＝4（平方米）。原正方体是6个面，即表面积为4×6＝24（平方米）。
再如，用3个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，拼成一个大长方体。这个大长方体的表面积是多少？
按题意画立体图来表示，三个长方体拼成的大长方体有以下三种情况：
（l）拼成长方体的长是2×3＝6（厘米），宽3厘米，高1厘米。表面积为（6×3＋6×l＋3×l）×2＝54（平方厘米）。
（2）拼成长方体的.长是3×3＝9（厘米），宽2厘米，高1厘米。表面积为（9×2＋9×1＋2×1）×2＝58（平方厘米）。
（3）拼成长方体的长是3厘米，宽是2厘米，高是1×3＝3（厘米）。表面积为（3×2＋3×3＋2×3）×2＝42（平方厘米）。
这道题有以上三种答案，通过画图起到审题和理解题意的作用。
三、分析图
一些应用题，为了能正确审题和分析题目中的数量关系，可以把题目中的条件、问题的相互关系用分析图表示出来。
如，新华中学买来 8张桌子和几把椅子，共花了 817.6元。每张桌子价 78.5元，比每把椅子贵 62.7元，买来椅子多少把？
分析图：
（l）买椅子共花多少钱？ 817.6－78.5×8＝189.6元）
（2）每把椅子多少钱？ 78.5－62.7＝15.8（元）
（3）买来椅子多少把？189.6÷15.8＝12（把）
综合算式为：（817.6－78.5×8）÷（78.5－62.7）
＝189.6÷15.8
＝12（把）
答：买来椅子12把。
四、线段图
一些题目条件多，条件之间关系复杂，一时难以解答。可画线段图表示，寻求解题的突破口。
如，光明小学六年级毕业生比全校总人数的还多3O人。新学期一年级新生人学36O人，这样现在比原全校总人数增加了。求原来全校学生有多少人？
从图中可以清楚看出，（360－30）人与全校人数的（＋）相对应，求全校人数用除法计算。列式为：
（360－30）÷（＋）＝330÷＝900（人）。
再如，甲乙两人同时从相距88千米的两地相向而行，8小时后在距中点4千米处相遇。甲比乙速度快，甲、乙每小时各行多少千米？
按照题意画线段图：
从图中可以清楚看出，甲、乙8小时各行的距离，甲行全程的一半又多出 4千米，乙行全程的一半少 4千米，这样就可以求出甲、乙的速度了。
甲速：（88÷2＋4）÷8＝6（千米）
乙速：（88÷2－4）÷8＝5（千米）
五、表格图
有些问题，通过列表不仅能分清题目的条件和问题，而且便于区分比较，起到良好的审题作用。
如，小明3次搬运15块砖，照这样计算，小明又搬了4次，共搬多少块砖？
根据条件、问题，列出易懂的表格，能清楚看出已知条件和所求问题。
3次 15块
又搬4次 共搬？块
从表中不难看出，又搬4次和共搬多少块，这两个数量不相对应，要先求一共搬多少次，才能求出共搬多少块，列式为：
15÷3×（3＋4）＝35（块）
另一种思路为，先求又搬4次搬的块数，再加上原有的块数，就是共搬的块数。列式为：
15÷3×4＋15＝35（块）
六、思路图
有些问题因为分析的角度不同，因此解题的思路也不同。通过画图能清楚看出解题思路，便于分析比较。
如，有一个伍分币、4个贰分币、8个壹分币，要拿出8分钱，一共有多少种拿法？
这道题从表面港一点也不难，但是要不重复。不遗漏地把全部拿法一一说出来也不容易，可以用枚举法把各种情况一一列举出来，把思路写出来。
五分币（1个） 1 1
贰分币（4个） 1 1 2 3 4
壹分币（8个） 1 3 6 4 2 8
拿的方法 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦
从图表中可以清楚着出不同的拿法。此题一共有不重复的7种拿法。
从以上各例题中可看出：解题时通过画图来帮助理解题意，起到了化繁为简、化难为易的作用。我们不妨在解题中广泛使用。
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