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比较法证明不等式
比较法证明不等式1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。
(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的`结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法。
(2)商值比较法的理论依据是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。
2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：AB1 B2 B3… BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。
a>b>0,求证：a^ab^b>(ab)^a+b/2
因a^a*b^b=(ab)^ab,
又ab>a+b/2
故a^a*b^b>(ab)^a+b/2
已知:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca>-4.
用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-4
下面这个方法算不算“比较法”啊?
作差 M = ab+bc+ca - (-4) = ab+bc+ca+4
构造函数 M = f(c) = (a+b)c + ab+4
这是关于 c 的一次函数(或常函数)，
在 cOM 坐标系内，其图象是直线，
而 f(-2) = -2(a+b) + ab+4 = (a-2)(b-2) > 0(因为 a<2, b<2)
f(2) = 2(a+b) + ab+4 = (a+2)(b+2) > 0(因为 a>-2, b>-2)
所以 函数 f(c) 在 c∈(-2, 2) 上总有 f(c) > 0
即 M > 0
即 ab+bc+ca+4 > 0
所以 ab+bc+ca > -4
设x,y∈R,求证x^2+4y^2+2≥2x+4y
(x-1)≥0
(2y-1)≥0
x-2x+1≥0
4y-4x+1≥0
x-2x+1+4y-4x+1≥0
x+4y+2≥2x+4x
除了比较法还有：
求出中间函数的值域：
y=(x^2-1)/(x^2+1)
=1-2/(x^2+1)
x为R，
y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，没有最大值，趋于无穷校
所以有：
-1<=y=1-2/(x^2+1)<1
原题得到证明
比较法：
①作差比较，要点是：作差——变形——判断。
这种比较法是普遍适用的，是无条件的。
根据a-b>0 a>b，欲证a>b只需证a-b>0;
②作商比较，要点是：作商——变形——判断。
这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。
当b>0时，a>b >1。
比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较(如幂、方根等)
综合法是从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法。
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