利用定义来计算函数的定积分
利 用 定 义 来 计 算 函数 的 定 积 分
◆王 茜 刘 光 荣
（ 空军工程大学理学院应用数学物理系）
【 摘要】定积分的概念 是用极 限来 定义的 ， 有很 强的 思想性。用 定
义 计 算 定积 分 是 教 学 中的 一 个 难 点 。 这 里 给 出 用 定 义 计 算 定 积 分 的 方 法 和 步骤 ， 举例 说 明借 助 定 义 来计 算 的 函数 类 型 ， 即幂 函 数 ； 指
数 函数 ； 角函 数 。 三
解
…于函数＿ ： Ｃａｂ ，Ｉ ｆ ：． 区间 ｌ，】 厂 ） Ｅ ｌ ｌ ） （） ｒ （ ｔ ｊ ｌ 在 口６上可积 。 所
，
以将 区 间 ｌ６ 等 分 。分 点 为 口 （一 ）ｆ １， ｎ ， 小 区 间 ａ ， ＋ ６ ｎ （＝ ，…，） ２
＾
【 关键 词 】定 积 分
幂 函数
指 数 函数
三 角 函数
ｌ＋ （一 ） ｎ ６ 口
，
＋
ｋ（ ‘ｂ
—
ｎＩ 长度 ： ）的
，取 小区 问 的右端 点
在 初 学 定 积 分 的 概 念 与 性 质 之 后 ， 没 有 学 习微 积 分 基 本 公 还 式 时 ， 们 遇 到 了定 积 分 的计 算 问题 ， 取 的 方 法 使 用 定 义 和 几 何 我 采
＋（ ｎ 于 ｒ ：ｍ ｂａ ＋（ 训 ， 是 百 － —， ｌ￣ — ｉ 一
＝
意义来计算 ， 而利用几何 意义求 定积 分要求必 须是 特殊 的曲边梯 形 ， 如是 圆 ， 例 三角形 等 ， 即必须是可利用公 式求 出图形 的面积的 ； 或是关于原点对称的区 间上的被 积 函数 是奇 函数 的积分 ， 结果 为 零 。利用定积分的定义解 题过程 有一定 的模式 ， 面临一 个和式 要 的极限来处理 ， 本文就是 来 明确 一下 用定 义计算定 积分 的函数 的
类型 。 １用定 义计 算 定积 分 的方 法 和 步 骤
定积 分”的概念 是 由极限运 算 定义 的，它是 一 Ｉ 个和 式的 极限 ，即
（ ６ ｎ＋ （
：（ ｂ－ａ） （ 口＋ 一口 ＝Ｉｂ ＿ ） ２１
２ ２
例 用 义 算 积 ｘ ２利 定 计 定 分ｆ ｄ ．
解 ｝ 于 函数 ， ｘ ＝ ｃｏ １ 则 ， ： Ｉ １ （） ｘ ∈ Ｉ １， ， （ ） 在 区问 Ｉ ｑ ． 积 。 Ｏ ｋ￣ ， Ｔ 所 以将 区问 Ｉ ｌ 等分 ，分 点 为 （： ， …，） ｏ ＇ ｆ １ ， ，小区 间 Ｉ ， 的长 ２
ｒ ＝ 喜 － ， ， （ ）
其 中 ， ： ａ｛ ， ： ｝ ｍｘ ， ， ￣ …， 。定 义中 对积分 区间 ｌ ｂ分划 的任 口 １ ， 意性 与 小 区 间 Ｉ Ａ ， Ｉ 选 取 点 蟊 ｆ １ ， 一 的任 意性 有 很 强 的思 － ｈ （＝ ， …，） ２
度
＝ 三 ， 取 小 区 间 的 右 端 点 二 ， 于 是
Ｈ ＾
ｆ ：喜 ＝
喜 ｘ （ １
： Ｉ — ｎ＋ ｉ ． ｍ （
— — — —
想 性和 包 容性 。但 是在可 积 的情况 下 ，可 以选 取特 殊 的分法 与取 法 ：
一
２ ） Ｉ ： ．ｎ ＋ １ Ｘ —
— — 一
１
一
：
＿坩 —
６
３
３用定义计算指数函数 和三角函数 的定积分
等 区 【 ｌ按 积 的 义 有ｒ（ …百ｂａ（。 分 间 ， 定 分 定 ， ，） ｌ￣ －， ） ６ ｉ 出＝ｍ
可 取 小 区 问 ， ｌ 左 端 点 ＋ 的 （一 ） 右 端 点 ６ 或
借助下面的等 比数列求和公式可求某些指数函数的定积分 ：
口＋唧 ＋． ＋卵 一 ： ． ．
Ｊ～ 口
其中 ，
（ ｇ≠ｌ 】
口 ＋
三（ 一口 。 ６ ）
Ｊ ｌ
例 用 义 算 积 ． ３利 定 计 定 分ｆ 出
解 由 于函数 ，（） Ｅ ａｂ ，则 ， ｅ 在 区问 【，ｌ 可积 。 ；Ｅ Ｃｌ，ｌ （） ｘ 口ｂ上 所 以将 区 间 【，ｌ 分 ， 分点 为 口 ’ｂ ）ｆ ２…，） 小区 问 口ｂ ｎ等 ＋ｉ（一口 （：１ ， 月 ，
，
这样我们用定义来 计算定 积分 的话 ， 一般有 下 面的解题 格式
与 步骤 ：
首先 ， 由可积 的充 分条件 判断 函数可 积。如果被 积 函数 是连 续 函数 的话 ， 那么 函数可 积 ； 如果有 有 限个 间断 点的话 ， 由积分 则 的可加性 ， 将其转化为几个连续 函数积分 的`和 。 其次， 由函数可 积想到定 积分与分 法 、 取法无关 ， 而选取特 从 殊的分法 ： 区间等分 ； 将 特殊 的取法 ： 小区间的左端点或右端点。 第三 ， 将定积分写成一个特定和式 的极 限 ， 用已知 的求 和公 利
：
＋
Ｈ
（一 ）ｎ （一 ）的长 度 Ａ ， ｂ— ６ 口， ＋ ６ 口Ｉ ｘ ＝— ａ，取小 区问 的右端 点 －
ｎ 月
。＋
ｉ－ ｌｐｘ… （ 卜ｒ ａ 足 ｄｌ Ｈ ” ｏ ＝喜 ｉ ａ ｒ 。 鬲
ｌ ｉ ｍ
…
式求和 ， 求和是关键 ， 也是难点。
（ 一Ｐ ） １
＝ ｅ 一 ￡ 。
最后 ， 求数列极 限 ， 得出定积分的值 。
２用 定 义 计 算 幂 函数 的定 积 分
观 在令 酊的等 比数列求和 公式 中的 ：１ ， 口：厶其中 ： 是复数且
ｚ ｗ：ｃｓ ＋ｉｉ０， 贝 对 于 ： ＋ ． － ｚ ＝ｅ 。８ ｓ ｎ ０ ＋ｚ ． ＋： ；— ． Ｏ
－
借助下面的求和公式可求某些幂函数的定积分 ：
１ ＋． ＋＾： ！ ＋２ ． ． ±！
．
ｚ
—
＇ ）
＿－
一
ｉ一 ：
ｉ＋ ｚ ．＋ ± ！ ！ ２＋ ． ｎ ：！ ± １ ｚ ． ！
６
艄 慨 娜
黼
对 于 任 意 给 定 的 自然 数 ｋ， ＋ …＋
求 法 ， 参 考 文 献 １ ２＋ 一 的 可 【】２ ． ｌ ［１ ， 例 ｌ 利用 定义 计算定 积分
１０ ２
ｃＯ? ÷— ｏＳ?口＋— ｓ２＋＝竽告 ８０ ÷—一 ＋…Ｏ一— Ｃ — Ｃ Ｓ ＋玎
。 咖 ． ｃ 一ｓ １ ｏ ． ） ｔ ｃ ８ 詈ｏ＋ （
ｘｘ ｄ．
例 利 定 汁 定 分ｉｏ ｋ ４ 用 义 筇 积 ‘ｓ ． ｃ捌
可得 ｔ＝ ＝ 以到 ｅ 善 ￣ ｄ ｘ ｉ … ｍ
２ （ 一ｅ ”、 ｎ１
＝ ＝ ? 一 ＋
由：数 ＝ｓ ｃ，， ｆ）Ｏ 区 Ｉ Ｌ 两边 分别 取实部 ｒ ， ／）ｃ ｅ［ Ｊｌ ＣＸ 问ｏ 町 函 ｏ ｏ ） （＝Ｓ ｘ 三１ ！ Ｊ ＇
积 。 所 以将 区 间 Ｉ，＂ 等 分 ， 分 点 为 （＝１ ， ｎ ， 小 区 间 Ｏ／ １ ｆ ， …，） ２
Ｚ
可得 ｚｏｘ ｘ Ｉ ｓｄ ＝ ， ｓ ｘｘ＝ ． ｃ ｉ ｄ １ ｎ
总 之 ， 用 定 积 分 定 义 可 求 部 分 函数 的 定 积 分 ， 们 要 面 临 一 利 我
ｌ 型
，
嘉的 度 寺 取 区 的 端 ， ｌ长 ＝ ， 小 问 右 点 ｊ 是
ｃ。 ｓ ＝
个 复杂的和式极 限的处理 ， 于是 我们 学 习简便 而有效 地计算 定积 分 的方 法— — 牛 顿 莱 布 尼 兹 公 式 。另 一 方 面 ， 们 又 可 以用 定 义 我
求 一类 无限和的极限或数列极 限 。
参考文献 ：
［ ］ 国胜 ， 国红 ． 于 ｌ ＋人 ＋矩 １胡 张 关 ＋ 求 和 的 三 种 算 法 ［］ 数 学 的 实 践 与认 识 ，０ ４ ３ （ ） １４—１７ Ｊ． ２０ ，４ １ ：６ ６．
喜ｏ … ｃ 云 ｃ ｌ ｓ ｉ ｒ ａ 喜
＋
警 － ： ｔ
：１ ．
［］ ２ 马建荣 ， 三阳 ， 刘 刘红卫． 自然数幂和的定积分算法［ ］ 高 Ｊ．
等 数 学 研 究 ，０ ９ １ （ ） ３ ２０ ，２ ６ ：３—３ ． ６
列 我们 也可 以计 钾＝ｉｉ ｎ ｓ
［］ ３ 同济大学应用数学 系． 高等数学［ ． Ｍ］ 北京 ： 高等教 育 出版
社 ，０ ７ ２０ ．
解
先计 算 ｉ ￣ ， ｅｄ ｘ，其 中ｆ 为虚数 单位 。 取 与例 ３类似 的过
［］ ４ 王凤鸣 ， 奇峰． 朱 高等数 学教 学 中的两个 难点分 析［ ］ 南 Ｊ．
阳师 范 学 院 学 报 ，０ ０ ９ ３ ：１ ９ ． ２ １ ，（ ）９ — ３
（ 上接第 １５页） ． １ ２ 产业结构不合理 ， 社会治安差 城 中村的出现 ， 使得一些贪 图享乐 的村 民依赖 出租房屋 、 土地 补偿款 、 资产分红来获得收益 ， 日游手好闲 ， 整 无所事 事 ， 重了村 加
面投 入 改造 的积 极性 。 ４ 加 强 村 民 素质 教育 ， 高 工 作 技 能 ． 提
村 民整体素质 的
高低 与否严 重影响到城中村改造能否成 功的 由于城市产业结构的调整 ， 劳动力素质的要求也在逐 Ｅ提 对 ｌ 民的惰性 ， 如此发展下去 既阻碍 了村集体 的发展 又阻碍 了村 民个 进行 ，
人 的发展。同时 ， 由于城 中村提供 了大量 的出租房屋 ， 由此 外来暂 高 。村 民不仅要提高 文化素质 和思想 观念 ， 还要 进行新 的培训 和 教育 ， 获得谋生的手段和技 能 ， 已适应 城市 的经济 活动 ， 更新 就业 住人员和流动人 口将城 中村作 为 了“ 聚集地 ” 。随之 带来 了一系
列不安定因素 ， 性事件 也频频 发生 ， 得治 安形式 越来 越严 峻 ， 观 念 。 恶 使 社 会 环 境 日趋 恶 化 。 ３ 人 口密 度 过 高 ， 口素 质 较 低 ． 人
５ 创 新 改 造 模 式 ， 寻 新 的 发 展 道 路 ． 探
通 过 借 鉴 广 州 、 海 、 圳 等 一 些 地 方 的改 造 模 式 ， 取 经 验 珠 深 吸
由 于 户籍 制 度 和城 市 住 房 制 度 的 限 制 ， 来 人 口 只 能 将 租 赁 教 训 。要 努 力 探 索 这 几 种 改造 模 式 的 优 缺 点 ， 具 体 分 析 各 个 城 外 在
房屋作为其解决住房 方式 的途径 ， 同时城 中村 的房屋租 赁价格 普 中村特点 、 主要问题及形成机制 的基础上 ， 活采用 改造模式 ， 灵 实 城郊 结合 部 的村 遍低 于城市商 品房 的价 格 ， 因此大量 的外来 人员高度 集 中于城 中 现多赢 。同时政府要 加强 引导 ，鼓励 有条 件 的、 村 。加 之 村 民 的思 想 道 德 陈 旧 ， 念 落 后 ， 化 程 度 低 ， 城 中 村 集 体 经 济 组 织 参 与 改 造 和 自行 改 造 。通 过 改 造 实 现 居 民城 市 化 ， 观 文 给
的精 神 文 明建 设 带 来 了 困境 。 五 、 中 村 改 造 的措 施 城
使得村 民变为真正意义上 的市 民 ， 享受市 民拥有 的待遇 ， 使得城 中 村的改造顺应城市化 的发展进程 ， 筹城乡发展 ， 步推进城 乡一 统 稳
体化。
参考文献 ：
１ 调整城市总体规划 ， ． 制定详 细 目标 调整城市总体规划 ， 应对建成 区和城 中村 地 区的建设 做到 统
一
规 划 管 理 ， 分 考 虑 城 市 用 地 功 能 、 础 设 施 发 展 水 平 ， 定 城 充 基 确
市基础设施 布局合理 ， 统筹安排公共设施 ， 解决外来人 口的生活和 居 住 空 间 需 求 。 把城 中 村 的 改 造 与 城 市 的 规 划 合 理 的结 合 起 来 ，
在 建设 的过 程 中要 规 范 建 设 行 为 ，各 级 政 府 职 能 部 门积 极 配 合 ， 相 互协 调 ， 强 工 程 监 管 ，防止 新 的城 中村 和 违 章 建 筑 的 出 现 。 加 ２ 提 高 认 识 ， 化 理 念 ． 深
［］
１ 史海运 ， 刘立钧 ，叶得 富．城 中村在城 市 中生态位的变迁
［ ］． 山西 建 筑 ， ０ ８ ３ （ ） ８ —８ ． Ｊ ２０ ， ４５ ： １ ２ ［ ］ 秀 青 ，王 丽 ．博 弈 中 的 城 中村 改 造 ［ ］． 山 西 建 筑 ， ２邢 Ｊ
２０ ， ３ ４ ： ３— ４ ０ ７ ３ （２ ） ５ ５ ．
［］ ３ 丁洪 建 ， 海 峰． 中村 的 问题 、 因及 规 划 管 理对 策 刑 城 成 ［ ］ 中国房地产 ，０ ７ （１ ） Ｊ． ２０ ， ２ ． ［］ ４ 李国敏 ， 吴倩江． 实施“ 中村” 城 改造 应注 意的 问题 ［ ］ 中 Ｊ．
国房 地 产 ， ０ ， ２ ． ２ ６（） ０
大力宣传整治改 造城 中村 的意义 、 原则 和方 法 ， 广 大市 民 使
和城 中村 的村 民了解城 中村 问题 的危 害 ， 强城 市意识 ， 增 要加 大 行政推动力度 ， 强宣传教育 ， 一步提 高人 民群众 对城 中村 改 加 进
造 重 要 意 义 的认 识 ，切 实 消 除 村 民思 想 顾 虑 ， 城 市 化 进 程 的 不 为
［ ］ 素英． ５金 城市化进程 中的“ 中村” 城 现象探 讨［ ］ Ｊ ．绿色大
世 界 ? 色科 技 ，０ ９ （７ 绿 ２ ０ ， ）．
断加快打下牢 固的思想基础 。
３保障各方利益 ， 动各方积极性 ． 调 在 城 中 村 的 改 造 过 程 中要 切 实 维 护 人 民 群 众 的 利 益 ，充 分 考
［］ ６ 贾康 ， 孙洁． 新农村基础设施建 设 中 Ｐ Ｐ模式 的应用［ ］ Ｐ Ｊ．
地 方 财 政 研 究 ，０ ６ （ ） ２０ ，５ ．
虑他们的生活需求。城中村 的改造 ， 要实 现户 籍制 度 、 土地管 理 、 行 政 体 制 、 济 组 织 、 活 活 动 等 方 面 的 完 全 转 变 ， 正 实 现 城 市 经 生 真 化。通过立法来保 证集 体财产 和个人 财产不 受到损 害 ， 在土地 收 益的分配上尽 可能 的对村 民和投资 方让利 ， 动村 民和社会 两方 调
［］ ７ 鞠睛江 ， 庞敏． 基础设施 对农村 经济发展 的作 用机制分 析
［］ 经 济 体 制 改革 ，０ ５ （ ） Ｊ． ２０ ，４ ．
［］ ８ 傅晋华． 农村基 础设施的投资 与运 营管理 ： 究综述 ［ ］ 研 Ｊ．
首 都 经 济 贸易 大 学 学报 ，０ ８ （ ） ２０ ， １ ．
１ １ 镬 ２
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