高中数学平面向量知识点归纳和测试题
必修四 第二章 平面向量
1.在△ABC中，AB?c，AC?b．若点D满足BD?2DC，则AD?（ ） A．
21b?c 33
B．c?
5
32b 3
C．
21b?c 33
D．b?
1
32c 3
2.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB?(2,4)，AC?(1,3),则BD?（ ） A． （－2，－4）
B．（－3，－5） C．（3，5）
D．（2，4）
3设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC?2BD,CE?2EA,AF?2FB,则
AD?BE?CF与BC( )
A.反向平行
.同向平行
C.互相垂直
D.既不平行也不垂直
4.关于平面向量a，b，c．有下列三个命题：
，k)，b?(?2，6)，a∥b，则k??3． ①若ab=ac，则b?c．②若a?(1
③非零向量a和b满足|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角为60． 其中真命题的序号为 ．（写出所有真命题的序号）
?的值为() 5.若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段PP12所成的比
A －
1
3
B －
1 5
C
1 5
D
1 3
( )
D．2
( )
→→→
6．已知正方形ABCD的边长为1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，则a＋b＋c的模等于
A．0
B．22
2
7．已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，则向量a在向量b上的投影等于
A．－4
B．4
12
C5
125
( )
8．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于
13A．－＋22
13－b 22
31C.a－b 22
31D．－a
22
( )
9．与向量a＝(13)的夹角为30°的单位向量是
13
A．(，或(1，3)
22
B．(
31
) C．(0,1) 22
D．(0,1)或
3122( )
11
10．设向量a＝(1,0)，b＝()，则下列结论中正确的是
22
A．|a|＝|b|
B．a·b＝
2
2
C．a－b与b垂直 D．a∥b
11．已知三个力f1＝(－2，－1)，f2＝(－3,2)，f3＝(4，－3)同时作用于某物
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体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f4，则f4等于 A．(－1，－2)
( ) D．(1,2)
B．(1，－2) C．(－1,2)
12.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a?c)?(b?c)?0,则c的最大值( )
A.1 B.2 C.2 D.
2
2
b?a·b＝ . 13.若向量a、b满足a?b?1,a与b的夹角为120°，则a·
14.如图，平面内有三个向量OA、、,其中OA与的夹角为120°，OA与的夹角为30°,且|OA|＝||＝1，||＝2，若＝λOA+μλ，μ∈R）,则λ+μ的值为.
?aa?
c=a-bab?0a??b，则向量a与c的夹角为（ ） 15．若向量与不共线，，且
ab??
A．0
B．
π
6
C．
π 3
D．
π 2
16．若函数y?f(x)的图象按向量a平移后，得到函数y?f(x?1)?2的图象，则向量a=（ ）
，?2) A．(?1，?2) B．(1，2) C．(?1，2) D．(1
3)，a在b
上的投影为17．设a?(4，
，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为（ ） 2
C．??2?
14) A．(2，
B．?2，?
?
?2?? 7???2?7?
8) D．(2，
18．设两个向量a?(??2，?2?cos2?)和b??m?sin??，其中?，m，?为实数．若a?2b，则
?
?
m2
??
?
8] 的取值范围是（ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[4，
m
Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6]
19．直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若
????
AB?2i?j,AC?3i?kj，则k的可能值个数是（）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3
Ｄ．4
→→
20．向量BA＝(4，－3)，向量BC＝(2，－4)，则△ABC的'形状为
A．等腰非直角三角形 C．直角非等腰三角形
B．等边三角形
( )
D．等腰直角三角形
( )
21．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是
10
，＋∞? A.??3?
10
? B.??3?
10
－∞， C.?3?
10
－∞， D.?3?
22．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.
23．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________. 24．已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________． 25．已知a＝（1，2），b＝（－2，3），且ka+b与a－kb垂直，则k＝（ ） （A） ?1?2（B）
?
?
?
?
?
?
2?1（C） 2?3（D） 3?2
课堂小测
1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点
F．若AC?a，BD?b，则AF?（ ）
A．
11a?b 42
B．
21
a?b 33
C．
11
a?b 24
D．a?
1
32b 3
2.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC?CB?0，则OC?（ ） A．2OA?OB
B．?OA?2OB
C．
21
OA?OB 33
D．?OA?
1
32
OB 3
?xπ??π?
?2?平移，则平移后所得图象的解析式为（） 3．将y?2cos???的图象按向量a????36??4??xπ??xπ?
Ａ．y?2cos????2 Ｂ．y?2cos????2
?34??34??xπ?
Ｃ．y?2cos????2
?312?
?xπ?
Ｄ．y?2cos????2
?312?
CD?4．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD?2DB，
A．
1
CA??CB，则??（ ） 3
2 3
B．
1 3
C．?
1 3
D．?
2 3
5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于
A．6
( )
B．5 C．4 D．3
6．已知a，b，c在同一平面内，且a＝(1,2)．
(1)若|c|＝25，且c∥a，求c； (2)若|b|＝
7．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为60°，c＝5a＋3b，d＝3a＋kb，当实数k为何值时：
(1)c∥d；(2)c⊥d.
8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； →→→
(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值．
，且(a＋2b)⊥(2a－b)，求a与b的夹角． 2
→→→→→→→→→
9．已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1.
求证：△P1P2P3是正三角形．
10．已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：
(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.
1
解7 由题意得a·b＝|a||b|cos 60°＝2×3×＝3.
2
9
(1)当c∥d，c＝λd，则5a＋3b＝λ(3a＋kb)． ∴3λ＝5，且kλ＝3，∴k5
29
(2)当c⊥d时，c·d＝0，则(5a＋3b)·(3a＋kb)＝0. ∴15a2＋3kb2＋(9＋5k)a·b＝0，∴k＝－.
14→→→→→→
解8 (1)AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，求两条对角线的长即求|AB＋AC|与|AB－AC|的大小． →→→→→→→→
由AB＋AC＝(2,6)，得|AB＋AC|＝210， 由AB－AC＝(4,4)，得|AB－AC|＝42. →→→→→→→(2)OC＝(－2，－1)， ∵(AB－tOC)·OC＝AB·OC－tOC2， 11→→→→→→易求AB·OC＝－11，OC2＝5， ∴由(AB－tOC)·OC＝0得t＝－.
5
→→→→→→→→→
证明9 ∵OP1＋OP2＋OP3＝0，∴OP1＋OP2＝－OP3，∴(OP1＋OP2)2＝(－OP3)2，
→→
1OP·OP1→2→2→→→2→→
∴|OP1|＋|OP2|＋2OP1·OP2＝|OP3|， ∴OP1·OP2＝－，cos∠P1OP2＝，
22→→
|OP1|·|OP2|→→→
∴∠P1OP2＝120°.∴|P1P2|＝|OP2－OP1|＝
→→
?OP2－OP1?2＝
→→→→OP12＋OP22－2OP1·OP2＝3.
→→
同理可得|P2P3|＝|P3P1|＝故△P1P2P3是等边三角形．
证明10 如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB＝2， 则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)． →→→
(1)BE＝OE－OB＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)， →→→
CF＝OF－OC＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)， →→∵BE·CF＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0， →→
∴BE⊥CF，即BE⊥CF.
→→
(2)设P(x，y)，则FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)，
→→→→
∵FP∥CF，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.同理由BP∥BE，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2. 686868→→→→
. ∴AP2＝??2＋??2＝4＝AB2，∴|AP|＝|AB|，即AP＝AB. 解得x＝，∴y＝，即P??55?5??5?55
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