二面角的平面角定位分析的论文

论文范文 时间:2019-12-03 我要投稿
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  【摘要】空间角是立体几何中一个重要概念,它是空间图形的一个突出的量化指标,是空间图形位置关系的具体体现。解决立体几何问题的关键在于“三定”:定性分析→定位作图→定量计算,其中定性是定位、定量的基础,而定量则是定位、定性的深化。在面面关系中,二面角是其中的重要概念之一,它的度量归结为平面上角的度量,一般来说,对其平面角的定位是问题解决的先决一步,故对二面角的平面角的定位是关键。

  【关键词】平面角;定性分析;定位作图;定量计算;点;垂线段;垂平面

  α、β是由出发的两个半平面,O是l上任意一点,OCα,且OC⊥l;CDβ,且OD⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景,即∠COD是二面角α-l-β的平面角。

  它有如下列特征:

  (1)过棱上任意一点,其平面角是唯一的;

  (2)其平面角所在平面与其两个半平面均垂直;

  另外,若在OC上任取上一点A,作AB⊥OD于B,则由特征(2)知AB⊥β.通过l、OA、OB、AB,之间的关系,便得到另一特征;

  (3):体现出三垂线定理(或逆定理)的环境背景。

  2二面角的平面角的特征剖析

  由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成,所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线(面)”的问题。

  特征(1)表明:其平面角的定位可先在棱上取一“点”,但这点必须与问题背景相互沟通,给计算提供方便。

  特征(2)指出:如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ与α、β的交线,则交线所成的角即为α-l-β的平面角,:

  由此可见,二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。

  特征(3)显示:如果二面角α-l-β的两个半平面之一,存在垂线段AB,由B作OB⊥l于O,连OA,由三垂线定理可知OA⊥l;或由A作OA⊥l于O,连OB。由三垂线逆定理可知OB⊥l。此时,∠AOB即为二面角α-l-β的平面角。

  由此可见,二面角的平面角的定位可以找“垂线段”.

  以上三个特征提供的思路在解决具体问题时各具特色,其目标是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上,我们只要找到其中一个,另两个就接踵而至.掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。

  3二面角的平面角的定位分析

  [例1]:已知E是矩形ABCD边CD的中点,且,CD=2,BC=1,现沿AE将△DAE折起至△D′AE,使得D′到B、C两点的距离相等,求二面角D′-BC-A的大小。

  解析:取AE中点P,BC中点Q.则可得PQ⊥BC,又由D′B=D′C,得D′Q⊥BC,

  ∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。

  经计算得:∠D′QP=23

  找“点”,由定义确定二面角的平面角。

  [例2]:矩形ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线AC把△ABC折起,使点B在平面ADC内的射影B′恰好落在AD上,求二面角B-AC-D的大小。

  解析:这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题,解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。

  在平面图形中过B作BE⊥AC交AC于O、交AD于E,则折叠后OB、OE与AC的垂直关系不变.但OB与OE此时变成相交两线段并确定一平面,此平面必与棱AC垂直。由特征(2)知,面BOE与面BAC、面DAC的交线OB与OE所成的角∠BOE,即为所求二面角的平面角。

  另外,点B在面DAC上的射影必在OE所在的直线上,又题设射影落在AD上,所以E点就是B′点,这样的定位给下面的定量提供了便捷条件。

  经计算:OB=AB·BCAC=3×45=125,AO=AB2AC=95,OE=AO·CDAD=2720,

  在Rt△BEO中,设∠BOE=θ,则cosθ=OEOB=916,

  ∵0°<θ<180°,∴θ=arccos916,

  即所求二面角B-AC-D为arccos916,

  通过对[例2]的定性分析、定位作图和定量计算,由特征(2)从另一角度告诉我们:要确定二面角的平面角,可以把构成二面角的两个半平面“摆平”,依题目条件,在棱上选取一适当的垂线段,即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相呼映,不仅便于定性、定位,更利于定量。由“垂线段”定位二面角的平面角。

  [例3]:已知二面角α-a-β为,PA⊥α于A,PB⊥β于B,且PA=8cm,PB=10cm.求P点到a的距离。

  解析:过PA、PB作平面γ,分别与α、β交于AO、BO,

  由PA⊥α,a鸡粒知PA⊥a,又由PB⊥β,a鸡拢知PB⊥a,因此,a⊥平面γ,

  ∵AO迹珺O迹∴a⊥AO,a⊥BO,

  ∴∠AOB为二面角α-a-β的平面角,即∠AOB=120°,

  连PO,由PO迹得a⊥PO.∴PO的长为P点到a的距离。

  经计算:AO=43(cm),PO=PA2+AO2=82+(43)2=47(cm).

  由棱的“垂面”定位二面角的平面角。

  [例4]:在正方体ABCD-A′B′C′D′中,棱长为2,E为BC的中点.求面B′D′E与面BB′C′C所成的二面角的大小。

  解析:面B′D′E与面BB′C′C构成两个二面角,由特征(2)知,这两个二面角的大小必定互补.通过特征(3),我们只须由C′(或D′)作B′E的垂线交B′E于H,然后连结HD′(或HC′),即得面B′D′E与面BB′C′C所成二面角的平面角∠C′HD′(三垂线定理)。

  经计算可得:H′C′=455,在Rt△D′C′H中,∠D′HC′=D′C′H′C′=52,

  故所求的二面角角为arctan52或π-arctan52.

  二面角的三个特征,虽然客观存在,互相联系,但在许多问题中却很难通过直观图反映出来,这就需要我们培养良好的空间思维想象能力,正确定位。

  [例5]:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是CC1的中点,求截面AD1E与底面ABCD所成角的正切值。

  解析:图中截面AD1E与底面ABCD只给出一个公共点,没有直接反映出二面角的棱,因此还需找出它与底面的另一个公共点.通过补形作出棱,进而再求二面角的大小。

  延长DC、D1E交于F,连AF,得截面AD1E与底面ABCD相交所得棱AF,AF交BC于G,过C作CH⊥AF于H,连EH,

  ∵EC⊥面ABCD,CH⊥AF,∴EH⊥AF(三垂线定理)

  ∴∠EHC即为所求截面AD1E与底面ABCD所成二面角的平面角.

  可设正方体棱长为a,经计算得:EC=CG=a2,CF=a,GF=52a,CH=,55a

  ∴tan∠EHC=ECCH=52,

  即所求二面角的正切值为52.

  [另]:△D1FA在底面ABCD的射影是△DFA,

  S△DFA=12DF×DA=a2,又D1A=2,S△D1FA=12D1A×322a=32a2,

  由射影面积法,所求角(记为θ)的余弦值为cosθ=S△DFAS△D1FA=23,

  则所求二面角的正切值为52。

  [另]:还可用向量法求二面角的平面角。

  定位是为了定量,二面角的计算是通过其平面角所在的三角形计算而得.而作平面角也是由其基本定义出发,在棱上找一点,在半平面内找一点,或在二面角内找一点,从这点出发作棱的垂线或垂面而得。如果二面角的棱在图中没有出现,可采取补形等办法作出二面角的棱。

  综上所述,二面角其平面角的正确而合理的定位,要在其正确其定义的基础上,掌握其三个基本特征,并灵活运用它们考察问题的环境背景,建立良好的空间思维,以不变应万变。