届高三数学二轮专题复习教案-数列

时间：2021-12-16 09:09:38 教案我要投稿

2009届高三数学二轮专题复习教案-数列

2009届高三数学二轮专题复习教案——数列一、本章知识结构：二、重点知识回顾１．数列的概念及表示方法　　（１）定义：按照一定顺序排列着的一列数．　　（２）表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．　　（３）分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．　　（４）与的关系：．　　2．等差数列和等比数列的比较　　（１）定义：从第2项起每一项与它前一项的差等于同一常数的数列叫等差数列；从第2项起每一项与它前一项的比等于同一常数（不为0）的数列叫做等比数列．　　（２）递推公式：．　　（３）通项公式：．　　（４）性质　　等差数列的主要性质：　　①单调性：时为递增数列，时为递减数列，时为常数列．　　②若，则．特别地，当时，有．　　③ ．　　④ 成等差数列．　　等比数列的主要性质：　　①单调性：当或时，为递增数列；当，或时，为递减数列；当时，为摆动数列；当时，为常数列．　　②若，则．特别地，若，则．　　③ ．　　④ ，…，当时为等比数列；当时，若为偶数，不是等比数列．若为奇数，是公比为的等比数列．三、考点剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例1. （2008深圳模拟）已知数列（1）求数列的通项公式；（2）求数列解：（1）当；、当，、（2）令当；当综上，点评：本题考查了数列的前n项与数列的通项公式之间的关系，特别要注意n＝１时情况，在解题时经常会忘记。第二问要分情况讨论，体现了分类讨论的数学思想．例２、（2008广东双合中学）已知等差数列的前n项和为，且， . 数列是等比数列，（其中）. （I）求数列和的通项公式；（II）记 . 解：（I）公差为d，则 . 设等比数列的公比为， . （II）作差： . 点评：本题考查了等差数列与等比数列的基本知识，第二问，求前n项和的解法，要抓住它的结特征，一个等差数列与一个等比数列之积，乘以２后变成另外的一个式子，体现了数学的转化思想。考点二：求数列的通项与求和例3.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为解：前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．点评：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式，难点在于求出数列的通项，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。例4.（2008深圳模拟）图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第个图形包含个“福娃迎迎”，则　　　　；＿＿＿＿解：第1个图个数：1 第2个图个数：1+3+1 第3个图个数：1+3+5+3+1 第4个图个数：1+3+5+7+5+3+1 第5个图个数：1+3+5+7+9+7+5+3+1= ，所以，f（５）＝４１ f(2)-f(1)=４，f(３)-f(２)=８，f(４)-f(３)=１２，f(５)-f(４)=１６点评：由特殊到一般，考查逻辑归纳能力，分析问题和解决问题的能力，本题的第二问是一个递推关系式，有时候求数列的通项公式，可以转化递推公式来求解，体现了转化与化归的数学思想。考点三：数列与不等式的联系例5.（２００９届高三湖南益阳）已知等比数列的首项为，公比满足。又已知，，成等差数列。（1）求数列的通项（2）令，求证：对于任意，都有（1）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）证明：∵ ， ∴ 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（２）问，采用裂项相消法法，求出数列之和，由n的范围证出不等式。例６、(2008辽宁理) 在数列，中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（Ⅰ）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）证明：．解：（Ⅰ）由条件得由此可得．猜测．用数学归纳法证明： ①当n=1时，由上可得结论成立． ②假设当n=k时，结论成立，即，那么当n=k+1时，．所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知对一切正整数都成立．（Ⅱ）． n≥2时，由（Ⅰ）知．故综上，原不等式成立．点评：本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．例７. （2008安徽理）设数列满足为实数（Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；（Ⅱ）设，证明： ; （Ⅲ）设，证明：解： (1) 必要性：，又，即充分性：设，对用数学归纳法证明当时， .假设则，且，由数学归纳法知对所有成立 (2) 设，当时，，结论成立当时， ,由（1）知，所以且 (3) 设，当时，，结论成立当时，由（2）知点评：本题是数列、充要条件、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意，加强训练。考点四：数列与函数、概率等的联系例题８.. (2008福建理) 已知函数 . 　　（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点 (n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；　　（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值. (Ⅰ)证明：因为所以 ′(x)=x2+2x, 由点在函数y=f′(x)的图象上, 又所以所以 ,又因为 ′(n)=n2+2n,所以 , 故点也在函数y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解: , 由得 . 当x变化时, ﹑ 的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 注意到 ,从而 ①当 ,此时无极小值； ②当的极小值为 ,此时无极大值； ③当既无极大值又无极小值. 点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力. 　例９、（２００７江西理）将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（　　）　　Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．　　解：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有个，其中为等差数列有三类：（1）公差为0的有6个；（2）公差为1或-1的有8个；（3）公差为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为，选B 点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复。考点五：数列与程序框图的联系例１０、（２００９广州天河区模拟）根据如图所示的程序框图，将输出的`x、y值依次分别记为；（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）写出y1，y2，y3，y4，由此猜想出数列{yn}；的一个通项公式yn，并证明你的结论; （Ⅲ）求．解：（Ⅰ）由框图，知数列 ∴ （Ⅱ）y1=2，y2=8，y3=26，y4=80. 由此，猜想证明：由框图，知数列{yn}中，yn+1=3yn+2 ∴ ∴ ∴数列{yn+1}是以3为首项，3为公比的等比数列。 ∴ +1=3·3n－1=3n ∴ =3n－1（）（Ⅲ）zn= =1×（3－1）+3×（32－1）+…+（2n－1）（3n－1） =1×3+3×32+…+（2n－1）·3n－[1+3+…+（2n－1）] 记Sn=1×3+3×32+…+（2n－1）·3n，① 则3Sn=1×32+3×33+…+（2n－1）×3n+1 ② ①－②，得－2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n－（2n－1）·3n+1 =2（3+32+…+3n）－3－（2n－1）·3n+1 =2× = ∴ 又1+3+…+（2n－1）=n2 ∴ . 　　点评：程序框图与数列的联系是新课标背景下的新鲜事物，因为程序框图中循环，与数列的各项一一对应，所以，这方面的内容是命题的新方向，应引起重视。四、方法总结与2009年高考预测（一）方法总结 1. 求数列的通项通常有两种题型：一是根据所给的一列数，通过观察求通项；一是根据递推关系式求通项。 2. 数列中的不等式问题是高考的难点热点问题，对不等式的证明有比较法、放缩，放缩通常有化归等比数列和可裂项的形式。 3. 数列是特殊的函数，而函数又是高中数学的一条主线，所以数列这一部分是容易命制多个知识点交融的题，这应是命题的一个方向。（二）2009年高考预测 1. 数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”。但实际上，从近两年各地高考试题来看，是加大了对“递推公式”的考查。 2. 探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求. 3. 等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题。 4. 求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和. 5. 将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查. 6. 有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点。今后在这方面还会体现的

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