构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式

时间：2021-10-04 17:13:04 证明范文我要投稿

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设f(x)在[0，1]上连续，且∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1(两个积分都是在0-1上的积分)，求证存在一点X∈[0,1]使∣f(x)∣>4

构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式

反证法

证明：

∵∫f(x)dx=0,∫xf(x)dx=1

∴∫[x-(1/2)]f(x)dx=∫xf(x)dx-(1/2)∫f(x)dx=1

设在[0,1]上处处有|f(x)|<4

则∫[x-(1/2)]f(x)dx<=∫|[x-(1/2)]f(x)|dx

<4∫|x-(1/2)|dx (积分区间[0,1])

=4*{∫[(1/2)-x]dx+∫[x-(1/2)]dx} (积分区间分别为[0,1/2]和[1/2,1])

=4*{-(1/2)[0-(1/2)^2]+(1/2)[(1/2)^2-0]

=4*(1/2)(1/4+1/4)

即∫[x-(1/2)]f(x)dx<1，与∫[x-(1/2)]f(x)dx=1矛盾

设在[0,1]上处处有|f(x)|=4

∵f(x)在[0，1]上连续

∴f(x)在[0，1]上恒等于4

或f(x)在[0，1]上恒等于-4

显然与∫f(x)dx=0矛盾

故以上两个假设均不成立。

∴必存在一点X∈[0,1]使∣f(x)∣>4

原不等式等价于

ln(b/a)>2(b/a-1)/(b/a+1)

由于b>a>0，令b/a=x，x>1

不等式化为lnx>2(x-1)/(x+1)

即lnx>2-4/(x+1)

建立辅助函数f(x)=lnx+4/(x+1)，x>1

f'=1/x-4/(x+1)^2=[(x+1)^2-4x]/[x(x+1)^2]

=(x-1)^2/[x(x+1)^2]>0

所以f(x)在[1,+∞)上单调递增，所以，当x>1时

f(x)>f(1),而f(1)=2

所以lnx+4/(x+1)>2

原不等式成立!

令f(x)=ln(x/a)-2(x-a)/(x+a)，a>0，x>0，

则f'(x)=1/x-4a/(x+a)^2=[(x-a)^2]/[x(x+a)^2]，

当x>a时，总有f'(x)>0，所以f(x)在[a,+∞)上单调增加，

当b>a时，总有f(b)>f(a)=0，即ln(b/a)>2(b-a)/(b+a).

你那个符号我打不出来，就用c代替了埃设F(x)的导数是f(x)。

情况1：f(x)恒大于0。要证的是：∫(上c下a)f(x)dx=3∫(上b下c)f(x)dx。→F(c)-F(a)=3F(b)-F(c)。→F(c)=[3F(b)+F(a)]/4。因为f(x)单调递增，易知F(x)也是单调递增的`。则容易得到F(a)<[3F(b)+F(a)]/4

f(x)在[0,1]上单调递减，证明当x属于(0,1)时，x*[F(1)-F(0)]<=F(x)-F(0)

这个题目有问题，你所说的这种情况还要保证f(x)的2阶导数小于0!你可以把X移过去这样两边就是斜率的表达式，可以作图观察，在图是凹的情况下不成立，在凸的情况下成立!在凸的情况下，你可以令G(X)=(F(X)-F(0))/X 然后对GX求导通过GX的单调性证明。

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