几何证明选讲试题

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几何证明选讲试题

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知识联系：那么，圆内接四边形的圆心究竟有什么性质呢?让我们先来考虑一下三角形的外接圆圆心的性质，我们知道，三角形外接圆圆心是各条边垂直平分线的交点，

那么圆内接四边形的圆心是否也有相同的性质呢?答案是一定的。原因很简单：圆内接四边形的圆心到四边形各个顶点的距离相等，则到一条线段两个端点距离相等的点的集合是什么呢?很明显，这样的集合是线段的中垂线，那么到四边形四条边的定点相等的点的集合一定是四条边中垂线的交点了，这个问题一旦解决，第一问的圆心问题就简单了。我们看半径的求解方法。

(Ⅱ)当 时，方程 的两根为 ， .

故 ， .

取 的中点 ， 的中点 ，分别过 作 的垂线，两垂线相交于 点，

连接 .因为 ， ， ， 四点共圆，所以 ， ， ， 四点所在圆的圆心为 ，半径为 .

由于 ，故 ， .

， .所以 .、

该解法是在做出圆心的基础上求半径的，考查高中数学重点知识垂直平分线的问题，很有新意。那么该问还有没有其他的解法?有，请看······

解决策略二：解该题的第一个方法用到数学中基本方法和基本运算，但有点繁琐，思路也不太好打开，有没有不用做出圆心直接求半径的方法？有！

知识联系：(1)四边形BCDE的外接圆是不是连接四边形中任意三点的三角形的外接圆?答案是肯定的!

(2)三角形的外接圆半径与解三角形中的哪个定理联系很紧密?

——正弦定理

正弦定理的表达形式： = = =2R,其中这里边的R，就是三角形的外接圆半径。那么，我们只要找到三角形的一边长和该边所对的角，就能将半径求出，而不需做出圆心。

解题过程：在△ABC中，连接DE、CD,根据AE=4，AC=6易知 ， .

则DE2 =AE2+AD2 所以DE=2 ，又在△ADC中，sin∠ACD= = =

所以在三角形DCE中， =2R=10 所以R=5 .

这种解题方法的掌握，是在有了扎实的基本功基础上的巧妙联想和合理推测证明，有利于学生知识体系的构建和基础知识的提升。

解决策略三：利用△ABC为直角三角形这个有利条件，联想到解析几何中圆的`标准方程的求法，建立二维x-o-y坐标系，利用解析几何的手段解决！

知识联系：圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0

圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2

Y

X

解题过程：在Rt△ABC中，以A点为原点，以AB为x轴，以AC为y轴，建立直角坐标系x-o-y系

根据AE=4，AC=6易知 ， .

则C(0,6), E(0,4), D(2,0), B(12,0)

设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

将C、D、E三点的坐标带入，得

36+6E+F=0 D=-14

16+4E+F=0 E=-10

4+2D+F=0 F=24

转化成标准方程为(x-7)2+(y-5)2=50从而得到半径是5 .

事实上，这个方法本身不难，但难就难在如何从几何证明选讲中迅速进行知识迁移，转化成解析几何问题，而这里的转移，恰恰是解决这个问题的关键所在。

统观这些解题方法，从本质上来看都是组成高中数学知识框架的重要部分，并且都要求掌握，所以要求我们在平时的学习中夯实基础，同时在学习的过程中还要将知识进行整理，让知识联系起来，别且要发挥我们想像的翅膀，做到深思熟虑，大胆联想，合理推测，正确证明，这样才能做到对知识的整体把握，才能举一反三，这样学起数学来就易如反掌了!

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