空间直角坐标系

时间：2021-11-08 20:05:33 资料我要投稿

空间直角坐标系

高二年级数学科辅导讲义（第讲）

学生姓名：授课教师：授课时间： 12.14

第一部分基础知识梳理 1.右手直角坐标系

①右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指； ②已知点的坐标P(x,y,z)作点的方法与步骤（路径法）：

沿x轴正方向（x?0时）或负方向（x?0时）移动|x|个单位，再沿y轴正方向（y?0时）或负方向（y?0时）移动|y|个单位，最后沿x轴正方向（z?0时）或负方向（z?0时）移动|z|个单位，即可作出点

③已知点的位置求坐标的方法：

过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A,B,C，点A,B,C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是

a,b,c，则(a,b,c)就是点P的坐标

2、在x轴上的点分别可以表示为(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)，

在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为(a,b,0),(a,0,c),(0,b,c); 3、点P(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,?b,?c) 点P(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(?a,b,?c)；点P(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(?a,?b,c)；点P(a,b,c)关于坐标平面xOy的对称点为(a,b,?c)；点P(a,b,c)关于坐标平面xOz的对称点为(a,?b,c)；点P(a,b,c)关于坐标平面yOz的对称点为(?a,b,c)；

点P(a,b,c)关于原点的对称点(?a,?b,?c)。

4. 已知空间两点P(x1,y1,z1)Q(x2,y2,z2)，则线段PQ的中点坐标为(5．空间两点间的距离公式

已知空间两点P(x1,y1,z1)Q(x2,y2,z2)，则两点的距离为|PQ|?

x1?x2y1?y2z1?z2

,,) 222

(x1?x2)2?(y1?y2)2?(z1?z2)2 ，

x2?y2?z2;

特殊地,点A(x,y,z)到原点O的距离为|AO|?

6.以C(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球面方程为(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?r2 特殊地,以原点为球心,r为半径的球面方程为x?y?z?r 第二部分重难点突破

1．借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系问题1：点P(a,b,c)到y轴的距离为

[解析]借助长方体来思考，以点O,P为长方体对角线的两个顶点，点P(a,b,c)到y轴的距离为长方体一条面对角线的'长度，其值为a2?c2 2．将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系

问题2：对于任意实数x,y,z

2222

[解析]

在空间直角坐标系中，

?(x,y,z)到点

(0,0,0)的距离与到点(?1,2,1)的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点(?1,2,1)之间的线段长，

所以

3．利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题 (1)判断两条相交直线是否垂直 (2)判断空间三点是否共线 (3)得到一些简单的空间轨迹方程

第三部分热点考点题型考点1: 空间直角坐标系题型1: 认识空间直角坐标系

[例1]（1）在空间直角坐标系中，y?a表示（） A．y轴上的点 B．过y轴的平面 C．垂直于y轴的平面 D．平行于y轴的直线（2）在空间直角坐标系中，方程y?x表示

A．在坐标平面xOy中，1，3象限的平分线 B．平行于z轴的一条直线 C．经过z轴的一个平面 D．平行于z轴的一个平面题型2: 空间中点坐标公式与点的对称问题

[例2 ] 点P(a,b,c)关于z轴的对称点为P1，点P1关于平面xOy的对称点为P2，则P2的坐标为【变式练习】

1．已知正四棱柱ABCD?A则C11B1C1D1的顶点坐标分别为A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0)，A1(0,0,5)，的坐标为。

2．平行四边形ABCD的两个顶点的的坐标为A(?1,1,3),B(3,2,?3)，对角线的交点为M(1,0,4)，则顶点C的坐标为 , 顶点D的坐标为

3．已知M(4,3,?1)，记M到x轴的距离为a，M到y轴的距离为b，M到z轴的距离为c，则（） A．a?b?c B．c?b?a C．c?a?b D．b?c?a 考点2：空间两点间的距离公式

题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题

[例3 ] 如图：已知点A(1,1,0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得

PA?AB恒成立？若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由。

【变式练习】

4．已知A(x,5?x,2x?1),B(1,x?2,2?x)，当A,B两点间距离取得最小值时，x的值为（） A．19 B．?

8819 C． D． 7714

5．已知球面(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2?9，与点A(?3,2,5)，则球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是。

6．已知三点A(?1,1,2),B(1,2,?1),C(a,0,3)，是否存在实数a，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。巩固练习

1．将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将x轴与y轴，x轴与z轴所成的角画成（） A．90

B．135 C．45 D．75

000

2. 点P(3,4,5)在yoz平面上的投影点P1的坐标是（） A．(3,0,0) B．(0,4,5) C．(3,0,5) D． (3,4,0) 3. 三棱锥O?ABC中，O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,3)此三棱锥的体积为（） A．1 B．2 C．3 D． 6 4．设点B是点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点，则|AB|等于( )

A．10 B． C． D．38

5．点P(1,2,3)关于y轴的对称点为P1， P关于平面xOz的对称点为P2，则|P1P2|6．正方体不在同一表面上的两顶点P（-1，2，-1），Q（3，-2，3），则正方体的体积是

7．在直角坐标系O—xyz中作出以下各点的P（1，1，1）、Q（-1，1，-1）。

8．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，E、F、G是DD1、BD、BB1之中点，且正方体棱长为1。请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标。

9．求点A（1，2，-1）关于坐标平面xoy及x轴对称点的坐标。

课后作业

1．空间直角坐标系中，到坐标平面xOy，xOz，yOz的距离分别为2，2，3的点有 A.1个 B.2个 C.4个 D.8个

2．三角形ABC的三个顶点的坐标为A(1,?2,11),B(4,2,3),C(6,?1,4)，则?ABC的形状为（） A．正三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形

3．已知空间直角坐标系O?xyz中有一点A(?1,?空间直角坐标系1,2)，点B是平面xOy内的直线x?y?1上的动点，则

A,B两点的最短距离是（）

A．6 B．

C．3 D． 22