椭圆的简单几何性质教案

时间:2022-01-04 09:16:39 教案 我要投稿

椭圆的简单几何性质教案

2011届高三数学椭圆的简单几何性质

  2.2椭圆的简单几何性质

椭圆的简单几何性质教案

  教学目标:

  (1)通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质;

  (2)能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图;

  (3)培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.

  教学重点:椭圆的几何性质. 通过几何性质求椭圆方程并画图

  教学难点:椭圆离心率的概念的理解.

  教学方法:讲授法

  课型:新授课

  教学工具:多媒体设备

  一、复习:

  1.椭圆的定义,椭圆的焦点坐标,焦距.

  2.椭圆的标准方程.

  二、讲授新课:

  (一)通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.

  [在解析几何里,是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的,我们现在利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.]

  已知椭圆的标准方程为:

  1.范围

  [我们要研究椭圆在直角坐标系中的范围,就是研究椭圆在哪个区域里,只要讨论方程中x,y的范围就知道了.]

  问题1 方程中x、y的取值范围是什么?

  由椭圆的标准方程可知,椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式

  ≤1, ≤1

  即 x2≤a2, y2≤b2

  所以 |x|≤a, |y|≤b

  即 -a≤x≤a, -b≤y≤b

  这说明椭圆位于直线x=±a, y=±b所围成的矩形里。

  2.对称性

  复习关于x轴, y轴,原点对称的点的坐标之间的关系:

  点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y);

  点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x, y);

  点(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y);

  问题2 在椭圆的标准方程中①以-y代y②以-x代x③同时以-x代x、以-y代y,你有什么发现?

  (1) 在曲线的方程里,如果以-y代y方程不变,那么当点P(x,y)在曲线上时,它关于x的轴对称点P’(x,-y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称。

  (2) 如果以-x代x方程方程不变,那么说明曲线的对称性怎样呢?[曲线关于y轴对称。]

  (3) 如果同时以-x代x、以-y代y,方程不变,这时曲线又关于什么对称呢?[曲线关于原点对称。]

  归纳提问:从上面三种情况看出,椭圆具有怎样的对称性?

  椭圆关于x轴,y轴和原点都是对称的。

  这时,椭圆的对称轴是什么?[坐标轴]

  椭圆的对称中心是什么?[原点]

  椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。

  3.顶点

  [研究曲线的上的某些特殊点的位置,可以确定曲线的位置。要确定曲线在坐标系中的位置,常常需要求出曲线与x轴,y轴的交点坐标.]

  问题3 怎样求曲线与x轴、y轴的交点?

  在椭圆的`标准方程里,

  令x=0,得y=±b。这说明了B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。

  令y=0,得x=±a。这说明了A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。

  因为x轴,y轴是椭圆的对称轴,所以椭圆和它的对称轴有四个交点,这四个交点叫做椭圆的顶点。

  线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。

  它们的长|A1A2|=2a,|B1B2|=2b (a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长)

  观察图形,由椭圆的对称性可知,椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等,且等于长半轴长,即     |B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a

  在Rt△OB2F2中,由勾股定理有

  |OF2|2=|B2F2|2-|OB2|2 ,即c2=a2-b2

  这就是在前面一节里,我们令a2-c2=b2的几何意义。

  4.离心率

  定义:椭圆的焦距与长轴长的比e= ,叫做椭圆的离心率。

  因为a>c>0,所以0<e<1.

  问题4 观察图形,说明当离心率e变化时,椭圆形状是怎样随之变化的?

  [调用几何画板,演示离心率变化(分越接近1和越接近0两种情况讨论)对椭圆形状的影响]

  得出结论:(1)e越接近1时,则c越接近a,从而b越小,因此椭圆越扁;

  (2)e越接近0时,则c越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆。

  当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合于椭圆的中心,图形变成圆。

  当e=1时,图形变成了一条线段。[为什么?留给学生课后思考]

  5.例题

  例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.

  [根据刚刚学过的椭圆的几何性质知,椭圆长轴长2a,短轴长2b,该方程中的a=?b=?c=?因为题目给出的椭圆方程不是标准方程,所以必须先把它转化为标准方程,再讨论它的几何性质]

  解:把已知方程化为标准方程 , 这里a=5,b=4,所以c= =3

  因此,椭圆的长轴和短轴长分别是2a=10,2b=8

  离心率e= =

  两个焦点分别是F1(-3,0),F2(3,0),

  四个顶点分别是A1(-5,0) A1(5,0) A1(0,-4) F1(0,4).

  [提问:怎样用描点法画出椭圆的图形呢?我们可以根据椭圆的对称性,先画出第一象限内的图形。]

  将已知方程变形为 ,根据

  在0≤x≤5的范围内算出几个点的坐标(x,y)

  x 0 1 2 3 4 5

  y 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0

  先描点画出椭圆的一部分,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图)

  说明:本题在画图时,利用了椭圆的对称性。利用图形的几何性质,可以简化画图过程,保证图形的准确性。

  根据椭圆的几何性质,用下面的方法可以快捷地画出反映椭圆基本形状和大小的草图:

  (1) 以椭圆的长轴、短轴为邻边画矩形;

  (2) 由矩形四边的中点确定椭圆的四个顶点;

  (3) 用平滑的曲线将四个顶点连成一个椭圆。

  [画图时要注意它们的对称性及顶点附近的平滑性]

  (四)练习

  填空:已知椭圆的方程是9x2+25y2=225,

  (1) 将其化为标准方程是_________________.

  (2) a=___,b=___,c=___.

  (3) 椭圆位于直线________和________所围成的________区域里.

  椭圆的长轴、短轴长分别是____和____,离心率e=_____,两个焦点分别是_______、______,四个顶点分别是______、______、______、_______.

  例2、求符合下列条件的椭圆的标准方程:

  (1)经过点(-3,0)、(0,-2);

  (2)长轴的长等于20,离心率等于0.6

  例3 点 与定点 的距离和它到直线 的距离之比是常数 ,求点 的轨迹.

  (教师分析——示范书写)

  例4、如图,一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面) 的一部分。过对称轴的截口ABC是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点F1上,片门位于另一个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2。已知AC^F1F2,|F1A|=2.8cm,|F1F2|=4.5cm,求截口ABC所在椭圆的方程。

  三、课堂练习:

  ①比较下列每组椭圆的形状,哪一个更圆,哪一个更扁?

  ⑴ 与 ⑵ 与 (学生口答,并说明原因)

  ②求适合下列条件的椭圆的标准方程.

  ⑴经过点

  ⑵长轴长是短轴长的 倍,且经过点

  ⑶焦距是 ,离心率等于

  (学生演板,教师点评)

  焦点在x轴、y轴上的椭圆的几何性质对比.

  四、小结

  (1)理解椭圆的简单几何性质,给出方程会求椭圆的焦点、顶点和离心率;

  (2)了解离心率变化对椭圆形状的影响;

  (3)通过曲线的方程研究曲线的几何性质并画图是解析几何的基本方法.

  五、布置作业

  课本习题2.1 的6、7、8题

  课后思考:

  1、椭圆上到焦点和中心距离最大和最小的点在什么地方?

  2、点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x= 的距离的比是常数 (a>c>0),求点M轨迹,并判断曲线的形状。

  3、接本学案例3,问题2,若过焦点F2作直线与AB垂直且与该椭圆相交于M、N两点,当△F1MN的面积为70时,求该椭圆的方程。

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