三角函数恒等变换教案(1)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
一、教学目标
理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式大学网的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点
1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：
cos??????cos?cos??sin?sin?；cos??????cos?cos??sin?sin?．
这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？
提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？
让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式.
??????????????sin??????cos?????????cos?????????cos????cos??sin????sin?
?2???2??2???2?
?sin?cos??cos?sin?．
sin??????sin???????????sin?cos?????cos?sin?????sin?cos??cos?sin?
让
学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手）
tan??????
sin?????sin?cos??cos?sin?
． ?
cos???cos?cos??sin?sin?
通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan?、tan?的形式呢？（分式分子、分母同时除以cos?cos?，得到tan??????注意：????
?
2
?k?,??
tan??tan?
．
1?tan?tan?
?
2
?k?,??
?
2
?k?(k?z)
以上我们得到两角和的正切公式，我们能否推倒出两角差的正切公式呢？
tan??????tan???????????
tan??tan????tan??tan?
?
1?tan?tan??1?tan?tan?
?k?,??
注意：????
?
2
?k?,??
?
2
?
2
?k?(k?z)．
（二）例题讲解
例1、利用和（差）角公式计算下列各式的值：
27iss2o4c2s7onc24is（1）、n
?
s2oc07socn02ni07sis；（2）、0
?
；（3）、
1n51a?t
1n51a?t
．
解：分析：解此类题首先要学会观察，看题目当中所给的式子与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式中哪个相象.
n274soicsn2427siocsn7i2s240n3is（1）、
???
??
??
??
?
?
??
1
； 2
27socn07n02iisssoc020709soc0?（2）、0；
?
（3）、
151na?tn54at51nat151na?t151n54at
?
??1
5
?n4a5t51?
0n6at?335
??
．
cos(???)?，求tan??tan?的值. 例2 已知cos(???)?，
例3
xx
解：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦和正切公式不相象，但我们能否发现规律呢？
1?
x
?x?2cosxx???
sin30cosx?cos30sinx???30?x??
思考：?正、余弦分别等于和
1
2
的'. 小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 作业：
32??1???
1、 已知tan??????,tan?求的值．（） ???,tan??????
5
?
4?
4
?
4?
22
2、 已知0???
值．
?
4
?????
3????3?3??5
求sin?????的,cos?????,sin?????，
4?4?5?4?13
二倍角的正弦、余弦和正切公式
一、教学目标
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点
教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
教学难点：二倍角的理解及其灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想：
（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
sin??????sin?cos??cos?sin?；
cos??????cos?cos??sin?sin?；
tan??????
tan??tan?
．
1?tan?tan?
我们由此能否得到sin2?,cos2?,tan2?的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中?看成?即可）， （二）公式推导：
sin2??sin??????sin?cos??cos?sin??2sin?cos?；
cos2??cos??????cos?cos??sin?sin??cos2??sin2?；
思考：把上述关于cos2?的式子能否变成只含有sin?或cos?形式的式子呢？cos2??cos2??sin2??1?sin2??sin2??1?2sin2?；
cos2??cos2??sin2??cos2??(1?cos2?)?2cos2??1．
tan2??tan??????
tan??tan?2tan?
?．
1?tan?tan?1?tan2?
注意：2??
?
2
?k?,??
?
2
?k? ?k?z?
（三）例题讲解 例4、已知sin2??
?
?
4
2
5??
,???,求sin4?,cos4?,tan4?的值． 1342
解：由???,得?2???．
2
512
??又因为sin2?
?,cos2???． 1313?
于是sin4??2sin2?cos2??2?
5?12?120
； ??????
13?13?169
2
120
sin4?120?5?119
；tan4??． ???cos4??1?2sin22??1?2????
cos4?119?13?169
169
?
例5、已知tan2??,求tan?的值． 解：tan2??
2tan?12
?tan??6tan??1?0
，由此得2
1?tan?3
13
解得tan???2
tan???2
（四）小结：本节我们学习了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.
例6、试以cos?表示sin2,cos2,tan2
2
2
???
2
．
?1和cos??1?2sin2
解：我们可以通过二倍角cos??2cos2因为cos??1?2sin2因为cos??2cos2
?
2
?
2
?
2
来做此题．
?
2
，可以得到sin2
?
2
?
1?cos?
； 21?cos?
． 2
?
2
?1，可以得到cos2
?
2
?
又因为tan2
?
?1?cos?． 1?cos?cos2
2
sin2
?
思考：代数式变换与三角变换有什么不同？
代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点． 例7、求证：
sin??????sin??????（１）、sin?cos???； ??2
1
（２）、sin??sin??2sin
???
2
cos
???
2
．
证明：（１）因为sin?????和sin?????是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．
sin??????sin?cos??cos?sin?；sin??????sin?cos??cos?sin?．
两式相加得2sin?cos??sin??????sin?????；
sin??????sin??????即sin?cos???； ??2
1
（２）由（１）得sin??????sin??????2sin?cos?①；设?????,?????，
那么??
???
2
,??
???
2
．
???
2cos
把?,?的值代入①式中得sin??sin??2sin
???
2
．
思考：在例２证明中用到哪些数学思想？
证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式． 例8
、求函数y?sinxx的周期，最大值和最小值．
解：y?sinx
x这种形式我们在前面见过，
?1????y?sinx?x?2?sinxx?2sinx????， ?2?3????
所以，所求的周期T?
2?
?
?2?，最大值为２，最小值为?2．
点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数
y?Asin??x???的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式
中的作用．
小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用． 总结： 1．
公式的变形
（1） 升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α 1—cos2α＝2sin2α
（3） 正切公式变形：tanα+tanβ＝tan(α+β)（1－tanαtanβ） tanα－tanβ＝tan(α－β)（1＋tanαtanβ) （4） 万能公式（用tanα表示其他三角函数值）
2．
插入辅助角公式
3．
熟悉形式的变形（如何变形）
1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1
＋tanα
1＋tanα1－tanα
π
若A、B是锐角，A+B＝ ，则（1＋tanA）(1+tanB)=2
4
4． 在三角形中的结论（如何证明） A+B+Cπ
若：A＋B＋C=π =
22tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC ABBCCA
tan tan ＋tan＋tantan＝1 222222
9．求值问题
（1）已知角求值题 如：sin555° （2）已知值求值问题 常用拼角、凑角
π3π35
如：1）已知若cos( －α)＝，＋β)＝
45413 π3ππ
又
34
2）已知sinα+sinβ= ,cosα+cosβ=,求cos(α－β)的值。
55（3）已知值求角问题
必须分两步：1）求这个角的某一三角函数值。2）确定这个角的范围。 π11
如：．已知tanα= ,tanβ= ,且αβ都是锐角，求证：α＋2β＝
7341.（2010全国卷1理）(2)记cos(?80?)?k,那么tan100??
2. 已知0?x?
?
2
，化简：
x?
lg(cosx?tanx?1?2sin2)?x?)]?lg(1?sin2x).
22
解析：原式?lg(sinx?cosx)?lg(cosx?sinx)?lg(sinx?cosx)2?0． 3.（2010天津文）（17）（本小题满分12分）
在?ABC中，
ACcosB
?。 ABcosC
（Ⅰ）证明B=C：
1??
（Ⅱ）若cosA=-，求sin?4B???的值。
3
?
3?
【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.
（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得
sinBcosB
=.于是sinCcosC
sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为???B?C??，从而B-C=0. 所以B=C.
（Ⅱ）解：由A+B+C=?和（Ⅰ）得A=?-2B,故cos2B=-cos（?-2B）=-cosA=.
又0
= 从而
sin4B=2sin2Bcos2B=
?
?
. 3
13
7，cos4B=cos22B?sin22B??.
99
所以sin(4B?)?sin4Bcos?cos4Bsin
3
3
?
3
?
4.（2010湖北理） 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)=cos(?x)cos(?x),g(x)?sin2x?
3
3
??
1
214
（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。
5.（2009江苏，15）设向量a?(4cos?,sin?),b?(sin?,4cos?),c?(cos?,?4sin?) （1）若a与b?2c垂直，求tan(???)的值； （2）求|b?c|的最大值;
（3）若tan?tan??16，求证：a∥b.
分析 本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明得基本能
力
。
6.（2009安徽卷理）在?ABC中，sin(C?A)?1, sinB=. （I）求sinA的值；
(II)设
?ABC的面积.
本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运
1
3
算求解能力。
?B，（Ⅰ）由C?A?，且C?A??∴A??，
∴sniAsni?(11∴sin2A?(1?sinB)?，又sinA?
0，∴sinA?
233
?
2?4B2?BB(cos)422
C
B2
，
ACBC
?（Ⅱ）如图，由正弦定理得
sinBsinA
A B
∴BC?
ACsinA
?
sinB
3
?sinC?sin(A?B)?sinAcosB?
cosAsinB
?
1
??
33333
1
2
12
?3
∴S?ABC?AC?BC?sinC?7.（2009湖南卷文）已知向量a?(sin?,cos??2sin?),b?(1,2). （Ⅰ）若a//b，求tan?的值； （Ⅱ）若|a|?|b|,0????,求?的值。 解：（Ⅰ） 因为a//b，所以2sin??cos??2sin?, 于是4sin??cos?，故tan??.
（Ⅱ）由|a|?|b|知，sin2??(cos??2sin?)2?5, 所以1?2sin2??4sin2??5.
从而?2sin2??2(1?cos2?)?4，即sin2??cos2???1，
于是sin(2??)?4
1
4
?
??9?又由0????知，?2???，
4445??7?
，或2???. 4444
3??
因此??，或??.
42
所以2??
?
?
8.（2009天津卷理）在⊿ABC中，
AC=3，sinC=2sinA (I) 求AB的值：
??
(II) 求sin?2A???的值
?
4?
本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。
（Ⅰ）解：在△ABC中，根据正弦定理，于是AB=sinCBC?2BC?2
sinA
5
ABBC
?
sinCsinA
AB2?AC2?BD225
?
2AB?AC5
（Ⅱ）解：在△ABC中，根据余弦定理，得cosA=于是 sinA=从而
?cos2A?
5
sin2A=2sinAcosA=4,cos2A=cos2A-sin2A=3
55
4
4
4
所以 sin(2A-?)=sin2Acos?-cos2Asin?=
?
2
10
??
???
9.（2007安徽）已知0???，?为f(x)?cos?2x???的最小正周期，
?
2cos2??sin2(???)??1??
·b?m．求2)，且a b?(cos?，的值． a??tan?????，?1?，
cos??sin?4????
π?
解：因为?为f(x)?cos?2x???的最小正周期，故??π．
?
8?
??·b?m，又a因a·b?cos?·tan??????2．
4
?
?
??
故cos?·tan??????m?2．
4
?
?1
1
由于0???，所以
π4
2cos2??sin2(???)2cos2??sin(2??2π)
?
cos??sin?cos??sin?2cos2??sin2?2cos?(cos??sin?)?? cos??sin?cos??sin?
?2cos?
1?tan?π??
?2cos?·tan?????2(2?m)
1?tan?4??
m??,n??cosA,sinA?
?
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