寿险中的破产理论及应用
一、引言在我国保险公司的运作中，保费收入是主要收入来源，理陪是主要风险因素，为了保障保险公司的正常运作，保险公司必须充分考虑所面临的风险，而破产理论的研究主要针对保险公司如何估计所面临的风险，它主要研究在较长时间上保险公司发生盈余或破产的概率，以前我们所研究的破产理论主要是针对非寿险进行研究，并且主要考虑在理赔次数N(t)为泊松过程，理赔额S(t)为复合泊松过程情况下的盈余过程，在非寿险研究中得到一个Lundberg不等式，这个破产概率上界为保险公司的风险分析提供了有力工具。
本文利用（文献[1]）风险理论，考虑在寿险中破产理论的研究，得到寿险破产模型，设计了求解寿险中的破产概率的一种算法，并得到寿险破产概率的一个上界。
二、单一年龄结构下的破产模型
设寿险中，刚投保时（t=0时刻），年龄均为x的被保险人有n[,1]个，每个被保险人的死亡概率遵循相同的生命表，初始准备金为u[,1]，并且设
n[,k]：第k年年初时的被保险人数
c：被保险人每年所交的保险费
d[,k]：第k年内(k,k+1)被保险人死亡的人数 (1)
q[,x]；被保险人在(x,x+1)死亡的人数的概率
b：每个被保险人死亡时，保险人要支付的保险金
由此假定我们知：
t=0时刻被保险人的总数n[,1],n[,k]=n[,k+1]+d[,k]。
定义1 对任意t＞0，设c＞0为单位时间内的保费收入率，s(t)为到时刻t保险公司支付的理赔总额，u(0)=u为时刻0时的初始准备金，则
u(t)=u+ct-s(t) (2)
称为时刻t时的盈余
由(2)可见：这里的盈余并没有考虑除了保费和理赔以外的影响盈余的因素，如附加费和保单持有人的分红等，显然，这种盈余并不是财务意义上的盈余，只是为了数学上处理方便而已…当盈余在某一时刻为负时，我们称“破产”发生，既然此处盈余并不是财务意义上的盈余，则此时破产就不等价于保险公司真的破产，但破产是衡量保险公司金融风险的极其重要的尺度。我们仅定义时间不连续时的破产概率
定义2 称Ψ[,t](u,n)=Pr｛u(t)＜0/｛u(τ)≥0，对某τ,τ=1,2,…t-1｝，为给定u,n时，第t年首次出现破产的概率。
设u[,k]表示第k年年初的准备金，且此时尚未收取第k年的保险费，v[,k]表示第k年年末的准备金，且此时尚未支付第k年年末的保险金，i是常数利率，则
v[,k]=(u[,k]+n[,k]c)(1+i) u[,k+1]=v[,k]-bd[,k]
定理1 寿险中，设初始准备金为u[,1],t=0时刻被保险人的总数n[,1]，且，c,q[,x],b满足(1)的假设条件，则保险人在第t年末的破产概率
附图
证明：被保险人在第一年末，可能发生死亡也可能不发生死亡，当死亡时，保险人由于支付保险金，可能导致破产发生，也可能不发生破产，我们考虑临界状态：即第1年年初所收保费与初始准备金之和等于第一年年末支付的保险金。bd[,1]=(u[,1]+n[,1]c)(1+i)，即
附图
对给定的n[,1]，在第1年内死亡人数的概率分布服从参数为(n[,1],q[,x])的二项分布，由此我们推得：
附图
注：定理1给出求解破产概率的公式，实际上我们可以利用迭代法求解保险期内任意年的破产概率。
实际上，寿险保险人数相当大，而且被保险人死亡的概率非常小，存活过保险期的人数也相当大。我们知道二项分布中当n[,1]充分大，q[,x]充分小时，由概率论中泊松定理知，泊松分布可更好逼近二项分布，记λ[,1]=n[,1]q[,x]，由泊松定理及定理1可得：
推论1 寿险中，设初始准备金为u[,1],t=0时刻被保险人的总数n[,1]，且c,d[,k],q[,x],b满足(1)的假设条件，则保险人在第t年末的破产概率
附图
三、不同年龄结构下的破产模型
为便于研究，对寿险中的被保险人进行分组，不妨设，刚投保时（t=0时刻），年龄为x(j)的被保险人有n[,1]
[1] [2]