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《倒数认识》教学实录
《倒数认识》教学实录1
一、揭示倒数的意义
师：前面我们学习了分数乘法，请同学们拿出听算本，我们听算几道题。
师：第一题：3/88/3…第二题：7/1515/7…第三题：31/3…第四题：1/8080……
生：笑……
师：有些同学在下面偷偷地笑了！你们笑什么呀？
生：（齐）太简单了！乘积都是1！……
师：对，今天我们要研究的就是乘积是1的两个数。你们还能写出乘积是1的两个数吗？
生：（齐）能！
师：那好，我们就进行一个小小的比赛。请大家准备好课堂练习本，我给大家一分钟的时间，请你写出乘积是1的任意两个数，看谁写得多，而且能写出不同的类型。
准备好了吗？开始……
师：一分钟到，停！谁愿意把你写的念出来，和大家共同分享？
生1：2/99/2=1，51/5=1，3/1010/3=1，1/7070=1，0.254=1，0.1258=1，0.110=1，0.01100=1
师有选择的板书在黑板上。
师：这么短的时间内就能写出这么多乘积是1的两个数，还是几种不同的类型，不错。
生：（抢着说）我还有更多的……
生2：11=1，0.254=1，0.1258=1，1/22=1，1/33=1，1/44=1，
1/55=1，1/66=1，1/77=1，1/88=1，1/99=1
师：太厉害了！如果给你们充足的时间，你们还能写多少个这样的乘法算式？（无数个）
不过我比你们更厉害。我不但能写出这么多算式，而且还能猜出你们写的是什么？信不信？不信？只要你说出你写的第一个数，我就能猜出你写的第二个数是什么？
学生在下面窃窃私语。有说我也会的，也有说不信的……
师：你要能猜出来，也可以来试一试呀。
生1：老师，我请你猜。
师：好。
生1：我写的第一个数是4。
师：那你写的第二个数是1/4。
生1：不对，我写的是0.25。
师：是吗，1/4和0.25相等呀。
生2：老师，我也请你猜。
师：都来为难我了！
生2：我写的第一个数是10/8。
师：那你写的第二个数是8/10或是0.8。
生2：老师，你没化成最简分数呀！
师：你的也不是最简分数呀。
师：你们也能猜吗？
生（齐说）：能。
师：为什么能猜到？
生：因为这两个数的乘积是1。
师：对，你们所写的这两个数的乘积都是1。像这样的乘积是1的两个数，我们把它称之为互为倒数。
教师板书：乘积是1的两个数叫做互为倒数。生齐读。
师：黑板上所写的两个数的积都是1，所以他们互为倒数。比如2/9和9/2和乘积是1，我们就说2/9和9/2互为倒数。（师板书2/9和9/2互为倒数）
师：为什么乘积是1的两个数不直接说是倒数，而要说“互为”倒数呢？“互为”是什么意思呢？你是怎样理解这两个字？
生1：“互为”是指两个数的关系。
生2：“互为”说明这两个数的关系是相互依存的。
生3：我举个例子来说，比如“2/9和9/2互为倒数”就是说2/9是9/2的倒数，9/2是2/9的倒数。
师：同学们说得很好。倒数是表示两个数之间的关系，它们是相互依存的，所以必须说清一个数是另一个数的倒数，而不能孤立地说某一个数是倒数。以前我们学过这种两数间相互依存关系的知识吗？
生：学过，约数和倍数。比如：15是3的倍数，3是15的约数。
师：对，我们今天学习的倒数与约数、倍数一样都是表示两个数之间的关系，必须是相互依存，而不能独立地存在。
师：5和1/5的积是1，我们就说……（生齐说）
师：0.254=1，这两个数的关系可以怎么说？
生1：0.25的倒数是4，4的倒数是0.25。
生2：这两个数不是分数，好像不可以说它们互为倒数？
师：可以吗？
生：可以，因为乘积是1的两个数叫做互为倒数，这两个数的乘积也是1。
师强调只要是乘积是1的两个数都是互为倒数。
师：看来同学们学得不错。现在老师要考考大家，是不是真正理解了倒数的意义。
1、判断：
（1）得数是1的两个数叫做互为倒数。
（2）因为101/10=1，所以10是倒数，1/10是倒数。
（3）因为1/4+3/4=1，所以1/4是3/4的倒数。
2、展台出示练习十T1、T2，口答。
（T1：3/4（）=17（）=1
T2：下面哪两个数互为倒数？
4/37/686/73/41/8)
二、探索求一个倒数的'方法
师：非常好！我们知道了倒数的意义，那么互为倒数的两个数有什么特点呢？我们一起来观察一下刚才的这些例子。
生1：互为倒数的两个数分子和分母调换了位置。
师：同意吗？
生：同意。
师：分子和分母调换了位置，（师指黑板）相乘时分子分母就可以完全约分，得到乘积是1。那么0.25和4呢，好像没有这一特点呀？
生：如果把0.25化成分数就是1/4，4就可以看成4/1，分子和分母也调换了位置。
生：老师，如果分子是0的话，怎么办？
师：这个问题我们记着，待会解答好吗？
生：好
师：根据这一特点你能写出一个数的倒数吗？
生：能
师：试一试！
师在黑板上出示3/57/2，写出它们的倒数。
生汇报，并汇报写的方法。
师生一起小结：求一个数的倒数，只要把分子分母调换位置。（板书）
师：那18的倒数是什么？它可是没有分子和分母呀？
生：把18看成是分母是1的分数，再把分子分母调换位置。
师根据学生的回答及时板书。
师：那1又2/7的倒数呢？
生思考。
生1：1又2/7的倒数是1又7/2。
生2：不对，要先把1又2/7化成假分数9/7，再交换位置。1又2/7的倒数是7/9。
师：哪个答案才是正确的呢？
我们一起来检验检验。
怎么检验呢？（生齐说看它们的乘积是不是1。）
《倒数认识》教学实录2
1．揭示课题
师：今天我们学习倒数的认识。(板书：倒数的认识)你们看了这个课题后，想知道什么？
生1：倒数是什么东西？
师：倒数不是什么东西，而应该是什么知识？(同学们轻轻地笑了)
生2：数怎样倒法？
生3：是不是只有分数有倒数？
师：也就是说，同学们想知道倒数的意义和有关方法。
教师板书：意义、方法。
师：倒数的意义和有关方法课本上都有，我们一看就知道了。重要的是我们在学习中要有自己的发现。我相信你们。
教师板书：发现(用另一种颜色的粉笔写)。
［评析：一上课就揭示课题，开门见山，有利于在一节课的最佳时域直奔重点，突破难点。教师只有确立以学生为本的理念，充分了解学生的学习起点和学习疑难症结，把握学生跳动的脉搏，才能有针对性地下功夫。］
［反思：课始直奔主题，一是可节省教学时间，把更多的时间让给学生去思考、去讨论。二是对本节课的旧知识学生几乎不存在什么计算上的问题。同时，由于是借班上课，我想降低课始的起点，使学生产生安全的心理，全身心投入学习。］
2．初步理解倒数的意义
(1)自学课本。
师：请大家在课本上找到倒数的意义，读一读。
学生打开课本，寻找倒数的意义，用笔划词句。
(2)复述意义。
师：请同学们合上书，谁能说说什么是倒数？
生1：乘积是1……
师：看来只读一遍就要记住有一定的难度，谁再来说说？
生2：乘积是1的两个数互为倒数。
教师板书：乘积是1的两个数----
师：后面是什么，张老师忘了，谁来帮忙？
生3：互为倒数。
教师接着板书：互为倒数。
［评析：教师恰到好处地设置疑问，有利于学生层层深入地思考。同时，高明的教师有时假装糊涂，把“聪明”让给学生，“张老师忘了，谁来帮忙？”短短的话语满足了学生求知探新的成功欲，这是促进学生有效学习的基本策略。这也是张老师课堂教学的一大特点，在下面的教学中还有不少类似的对话。］
(3)初步剖析意义。
师：我们读的时候可以把这句话分成两部分，你认为该怎么读？
生1：乘积是1的两个数／互为倒数。
生2：乘积是1的／两个数互为倒数。
师：这两种读法究竟哪一种读法好？同桌同学讨论一下，并说说你的想法。
生3：乘积是1的两个数／互为倒数。
师：为什么这样读？
生3：这样读很顺。
师：你是怎样读的？
生4：乘积是1的／两个数互为倒数。
师：同意这样读的同学请举手。看来，女同学都支持第一种，男同学都支持第二种。我也支持第二种的读法。
教师边说边板书：条件(在“乘积是1”的下面划上红线)、结论(在“两个数互为倒数”的下面划上红线)。
师：因为有了“乘积是1”的条件，才有“两个数互为倒数”的结论。
［反思：对倒数概念的两种读法，事后细想，还是第一位学生的读法为好，因为“乘积是1”是“两个数”的定语，把它们隔开不好，另外，这句话是省略了“它们”两个字，完整的应是“乘积是1的两个数，它们互为倒数”，前面是条件，后面是结论。］
3．深入探究倒数的意义
(1)示范举例。
师：现在老师写一个算式，大家看看是不是符合这句话的意义？
教师板书：4/5×5/4=1。（生：符合）
师：那你有什么结论？
生：4/5和5/4互为倒数。
教师板书：4/5和5/4互为倒数。
师：在条件前加两个字……
教师板书：因为板书在4/5×5/4=1的前面。
师：有了因为，就有----
学生齐声回答“所以”，教师板书：所以板书在4/5和5/4互为倒数的前面。
师：谁来把条件、结论完整地说一说？
生：因为4/5×5/4=1，所以4/5和5/4互为倒数。
［评析：常常发现六年级学生做作业写倒数时，用这样的形式表示“2/3=3/2”，误认为等号左边是已知条件的数据，等号右边是所求的结果数据。教师的示范表述在这里显得很有必要，这是规范学生表述的重要环节。］
(2)学生举例。
师：每个学生写一个这样的算式，然后让同桌的同学照样子说一说。(学生练习)
师：你是怎么写的，说说看？
生：因为2/7×7/2=1，所以2/7和7/2互为倒数。
(3)深入剖析意义。
①剖析“互为”的含义。(注：以下几个层次都是以学生为主提出讨论的，教师仅起到穿针引线的作用。小瓣题是在整理课堂实录后另外加上去的。)
师：我们现在对倒数的意义有了一定的理解，不过还不够深入。现在请大家再认真读一读、想一想，你能对这句话中的某个字或某个词理解得更深刻些，向大家解释得更清楚一些吗？
［反思：对于概念的.教学，我们的老师大多比较轻视，认为让学生读一二遍记住就达到目的了。其实，这都是表面现象，根本不能促使学生数学思维品质的提高。所以，让学生关注基础知识本身，这是我们数学课不能丢的根本，也是实现新课程提出的三维目标的关键，重要的是让学生在掌握概念的过程中，学会数学思考，体会解决问题所带来的成功体验。］
过了几分钟，陆续有五六位学生举手。
师：已经有同学想来为大家解释了，暂时没有思考出结果的同学不要急，过一会儿在听别人发言的时候，你一定会有所发现的。现在谁来贡献自己的成果？
生：“互为”就是分数的分子与分母是互质数。
师：是这样吗？我刚才看见有一位同学写了这样一个算式：4/6×6/4=1，分数中的4和6就不是互质数啊？但4/6与6/4是互为倒数，说明这位同学理解的互为不正确。不过这位同学能联想到以前的旧知识，这是一种学习的方法，你还记得什么叫互质数吗？
生：公约数只有1的两个数是互质数。
教师板书：公约数只有1的两个数是互质数。
［反思：学生提出“互为”就是“互质数”的意思，这是我始料不及的。既然这是学生的直观想法，那我们不能回避，所以我从另一个角度来“表扬”他，因为学生敢回答，就说明他在思考。另外，我们教师的提问，并不都是为了求得正确答案啊！不同的回答，甚至是错误的回答，我们处理好了，这就是教学中一种不可多得的资源。］
师：谁对“互为”有不同的解释？
生：“互为”是互相成为一个关系，互为倒数是指这两个数互相成为倒数关系。
师：你能根据具体的例子说一说吗？
生：4/5是5/4的倒数，5/4是4/5的倒数。
教师板书：就是----
师：哎呀！老师忘了，怎么说？
生：4/5是5/4的倒数，5/4是4/5的倒数。
教师接着板书：4/5的倒数就是5/4，5/4的倒数就是4/5。
教师出示卡片：判断：2和1/2都是倒数。()
师：谁来判断一下这句话的正误，请说明理由。
生1：错了，1/2倒过来是2/1。
生2：对的，因为2可以化成2/1
师：刚才这两位同学争论的是这两个数的形式，请大家再想一想，判断一句话说得是否正确，应该怎样想？
生3：应根据倒数的意义去判断。
师：说得好。判断一句话的正确与否，主要看实质，不能仅看表面形式。
生3：错了。不能说“都是”，应该说出谁是谁的倒数。
生4：错了，应该是2和1/2互为倒数。
②剖析“乘积是1”的含义。
师：谁再来解释？
生：我想为大家解释“乘积是1”，就是一个数乘一个数。
师：“我想为大家解释”，这位同学非常好，愿意把自己的智慧贡献出来与大家分享。
教师出示卡片：判断：因为1/3+2/3=1，所以1/3和2/3互为倒数。()
生：错了，因为不是乘积是1，而是和是1。
(4)探究求倒数的方法。
师：谁想再解释吗？
生：我想解释4/5的倒数的分子就是4/5的分母，4/5的倒数的分母就是4/5的分子。
师：你的意思就是互为倒数的两个数，分子、分母的----
生：分子、分母的位置对调一下。
教师板书：分子、分母调换位置。
师：你叫什么名字？(生齐说：陈潇雨)你真了不起，有了自己的发现。
教师板书：陈潇雨发现(板书在分子、分母调换位置的后面，用红色粉笔书写)。
教师板书：
师：你对老师画的两个箭头，有什么想法？
生：5/4是4/5的倒数，但4/5也是5/4的倒数，所以不能只画两个箭头。
师：所以，还要----
生：还要画两个箭头。
教师在原来的线上加了两个从右到左的箭头。
师：你叫什么名字？（生齐说：周宇明）
教师板书：周宇明发现(板书在有箭头式子的右边)。
［反思：在原来的教学设计中，求倒数的方法是在后面的，但现在学生提出来了，我就把这个环节提上来了，并从中得到启发，再一次让学生体会“互为”的意思。其实我们只要相信学生，给他们信念，农村孩子的表现照样会令教师意想不到，这就是教学相长。］
(5)探索倒数的特例。
师：谁愿意把自己的智慧继续与大家一起分享？
生1：我想解释“两个数”，就是两个因数。
师：哈！“互为倒数”被别人解释了，“乘积是1”也给别人解释了，只有这“两个数”了。这位同学的发言让大家的注意力集中在“两个数”了。谁有不同的想法？
生2：这两个数是两个分数，不是分数的可以化成分数，是整数的或小数的都可以化成分数。
师：成倒数的两个数中，应该有几个整数？
生3：两个整数，不！不对，应该是一个整数。
师：谁能举个例子？
生4：4×1/4=1。
生5：12×1/12=1。
师：他刚才先说两个整数，有可能吗？
生6：不可能，比如5×5=25。
师：(看见学生举手，想发表不同意见，于是指名回答)你说呢！
生7：那1×1不是等于1吗？确实是两个整数啊。
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