选修2-2微积分基本定理习题及答案
选修2-2微积分基本定理习题及答案
一、选择题
1．(2010·山东日照模考)a＝?2xdx，b＝?2exdx，c＝?2sinxdx，则a、b、c的大小关系是
?0
?0?0
( )
A．a
1
[解析] a＝?2xdx＝2|02＝2，b＝?2exdx＝ex|02＝e2－1>2，c＝?2sinxdx＝－cosx|02＝1
2???
B．a
－cos2∈(1,2)，
∴c
2．(2010·山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( ) 1
12[答案] A
?y＝x2?
[解析] 由?3得交点为(0,0)，(1,1)． ?y＝x?
1
B. 4
1 3
7D. 12
1314??11
∴S＝?1(x2－x3)dx＝??3x－4x??0＝12. ?
[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：
(2010·湖南师大附中)设点P在曲线y＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P的坐标是( )
416?A.??39? 415?C.??37? [答案] A
t3
[解析] 设P(t，t)(0≤t≤2)，则直线OP：y＝tx，∴S1＝?(tx－x)dx＝S2＝?2(x2－
6??
2
t
2
t
416B.??59 413D.??57
4168t34
tx)dx＝－2t，若S1＝S2，则t＝P??3，9. 363
3．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为( ) A．4
4
B. 3
18
5
D．
6
[答案] A
x4?2
[解析] S＝?xdx＝4?0＝4.
?
230
4．(2010·湖南省考试院调研)?1－1(sinx＋1)dx的值为( )
?
A．0
B．2 D．2－2cos1
C．2＋2cos1 [答案] B
[解析] ?1－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－11＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2.
?5．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是( ) A．2π 3π
2[答案] A [解析] 如右图， S＝∫02π(1－cosx)dx ＝(x－sinx)|02π＝2π.
[点评] 此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为
B．3π D．π
?ππ?，则对称性就无能为力了． ?6?
6．函数F(x)＝?xt(t－4)dt在[－1,5]上( )
?0
A．有最大值0，无最小值 32
B．有最大值0和最小值－
332
C．有最小值－，无最大值
3D．既无最大值也无最小值 [答案] B
[解析] F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， 73225
∵F(－1)＝－，F(0)＝0，F(4)，F(5)＝－.
33332
∴最大值为0，最小值为－.
3
[点评] 一般地，F(x)＝?xφ(t)dt的导数F′(x)＝φ(x)．
?0
1
7．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，函数f(x)＝?xdt，若f(x)
的取
?t
1
值范围是( )
A.?
3? ?6?
－11
B．(0，e21) D．(0，e11)
C．(e，e)
[答案] D
1
[解析] f(x)＝?xdt＝lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx
?t
1
8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形
OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )
1 π
2B. π
3 π
πD. 4
[答案] A
[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝?π
?0
sinxdx＝－cosx|0π＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P＝212ππ
SS矩形OABC
x＋2?－2≤x
9．(2010·吉林质检)函数f(x)＝?的`图象与x轴所围成的图形面积S为π
2cosx?0≤x≤??2?( )
3
2
B．1
C．4
1D. 2
[答案] C
ππ
[解析] 面积S＝2f(x)dx＝?0－2(x＋2)dx＋∫2cosxdx＝2＋2＝4.
22?
10．(2010·沈阳二十中)设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.2]x
＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－，f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)
3的图象交点的个数记为n，则?ng(x)dx的值是( )
?m
5A．－
2
4B．－
3
5C．－
4[答案] A
7D．－
6
[解析] 由题意可得，当0
－dx＝－?14＝－. 所以m＝1，n＝4，则?g(x)dx＝??6?2?m?1?3n
4
2
11．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可以相等)，若关于x的方程x2＋2bx＋c＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为( )
1
3
2B. 3
1 2
3D. 4
[答案] A
[解析] 方程x2＋2bx＋c＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c， 由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为pbdb??11×1
12
＝.
3
12．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x2(x≥0)与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是( )
1 21 3
1 425
[答案] C
[解析] 如图，正方形面积1，区域M的面积为S＝?1x2dx
?0
111＝3|01＝，故所求概率p＝. 333
二、填空题
13．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若?1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝
?
________.
1[答案] －1或
3
[解析] ∵?1－1f(x)dx＝?1－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|－11＝4，?1－1f(x)dx＝2f(a)，
???
∴6a2＋4a＋2＝4，
1
∴a＝－1或.
3
π1
14．已知a＝∫0(sinx＋cosx)dx，则二项式(a－)6的展开式中含x2项的系数是
2x________．
[答案] －192
ππππ
[解析] 由已知得a＝∫(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|＝(sin－cos－(sin0－cos0)
2222＝2，
(2x－
16－－
)的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝(－1)r×C6r×26r×x3r，令3－r＝2得，r＝1，故其系数为(－1)1×C61×25＝－192.
15．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________． [答案] 18
2??y＝2xy2
[解析] 由方程组?解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量x＝、
2?y＝4－x?
x＝4－y
∴S＝?
?
2－4[(4－y)－
y2y2y32
＝(4y－－
4＝18. 226
4
16．(2010·安徽合肥质检)抛物线y2＝ax(a>0)与直线x＝1围成的封闭图形的面积为3若直线l与抛物线相切且平行于直线2x－y＋6＝0，则l的方程为______．
[答案] 16x－8y＋1＝0
2
[解析] 由题意知?1axdxa＝1，
3?
设l：y＝2x＋b代入y2＝x中，消去y得， 4x2＋(4b－1)x＋b2＝0， 1
由Δ＝0得，b
8∴l方程为16x－8y＋1＝0.
17．(2010·福建福州市)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x1
轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为
12________．
[答案] －1
[解析] f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(a
11
S阴影＝－?0(－x3＋ax2)dx4＝，∴a＝－1.
1212?
a
三、解答题
18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．
2
[解析] 由题意得S1＝t·t2－?tx2dx＝t3，
3?
S2?
dx－t2(1－t)＝2t3－t21
2＝?1xt
3＋3，
所以S＝SS41
1＋2＝3t3－t2＋3≤t≤1)．
又S′(t)＝4t2－2t＝4t??t1
2， 令S′(t)＝0，得t1
2
t＝0.
因为当0
2
0.
所以S(t)在区间??0，12上单调递减，在区间1
21??上单调递增．所以，当t＝11
2Smin＝4
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