微分中值定理与导数的应用习题
第四章 微分中值定理与导数的应用习题
§4.1 微分中值定理
1． 填空题
（１）函数f(x)?arctanx在[0, 1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是
4??
?
．
（２）设f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?5)，则f?(x)?0有 3 个实根，分别位于区间(1,2),(2,3),(3,5)中．
2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，是f(x)在(a,b)内至少存在一点?，使f?(?)?0成立的（ B ）．
A． 必要条件 B．充分条件 C． 充要条件 D． 既非充分也非必要条件
（２）下列函数在[?1, 1]上满足罗尔定理条件的是（ C ）．
1?
?xsin, x?0
A. f(x)?e B. f(x)?|x| C. f(x)?1?x D. f(x)?? x
? x?0?0,
（３）若f(x)在(a,b)内可导，且x1、x2是(a,b)内任意两点，则至少存在一点?，使下式成
x
2
立（ B ）．
A． f(x2)?f(x1)?(x1?x2)f?(?)
??(a,b)
B． f(x1)?f(x2)?(x1?x2)f?(?)?在x1,x2之间 C． f(x1)?f(x2)?(x2?x1)f?(?)x1???x2 D． f(x2)?f(x1)?(x2?x1)f?(?)x1???x2
3．证明恒等式：arctanx?arccotx?
?
2
(???x??)．
11
??0，所以f(x)为一常数．
1?x21?x2
证明： 令f(x)?arctanx?arccotx，则f?(x)?设f(x)?c，又因为f(1)?
?
2
，
n?arccotx?故 arctax
?
2
(???x??)．
4．若函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数，且f(x1)?f(x2)?f(x3)，其中a?x1?x2
?x3?b，证明:在(x1,x3)内至少有一点?，使得f??(?)?0．
证明：由于f(x)在[x1,x2]上连续,在(x1,x2)可导,且f(x1)?f(x2)，根据罗尔定理知，存在?1?(x1,x2)， 使f?(?1)?0． 同理存在?2?(x2,x3)，使f?(?2)?0． 又f?(x)在[?1,?2]上 符合罗尔定理的条件，故有??(x1,x3)，使得f??(?)?0．
x2x3
??0有且仅有一个实根． 5． 证明方程1?x?26
1x2x3
?证明：设f(x)?1?x?， 则f(0)?1?0,f(?2)???0，根据零点存在定理至
326
少存在一个??(?2,0)， 使得f(?)?0．另一方面，假设有x1,x2?(??,??)，且x1?x2，使
1
f(x1)?f(x2)?0，根据罗尔定理，存在??(x1,x2)使f?(?)?0，即1????2?0，这与
2
12x2x3
1?????0矛盾．故方程1?x???0只有一个实根．
226
6． 设函数f(x)的导函数f?(x)在[a,b]上连续，且f(a)?0,f(c)?0,f(b)?0，其中c是介
于a,b之间的一个实数． 证明： 存在??(a,b), 使f?(?)?0成立.
证明： 由于f(x)在[a,b]内可导，从而f(x)在闭区间[a,b]内连续，在开区间(a,b)内可导．又因为f(a)?0,f(c)?0，根据零点存在定理，必存在点?1?(a,c)，使得f(?1)?0． 同理，存在点?2?(c,b)，使得f(?2)?0．因此f(x)在??1,?2?上满足罗尔定理的条件，故存在??(a,b)， 使
f?(?)?0成立．
7. 设函数f(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导. 试证:至少存在一点??(0,1), 使
f?(?)?2?[f(1)?f(0)].
证明： 只需令g(x)?x，利用柯西中值定理即可证明.
8．证明下列不等式
2
sinx
?cosx． x
证明： 设f(t)?sint?tcost，函数f(t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，且
（１）当0?x??时，
f?(t)?tsint, 故f(x)?f(0)?f'(?)(x?0), 0???x, 即
sinx?xcosx?x?sin??0 (0?x??)
sinx
?cosx． 因此， 当0?x??时，x
a?baa?b
?ln?（２）当 a?b?0时，． abb
证明：设f(x)?lnx，则函数在区间[b,a]上满足拉格朗日中值定理得条件，有
f(a)?f(b)?f'(?)(a?b),b???a
1a1111'
因为f(x)?，所以ln?(a?b)，又因为b???a，所以??，从而
xb?a?b
a?baa?b
?ln? ． abb
§4.2 洛毕达法则
1． 填空题 （１） lim
cos5x
5x?
?
2
cos3x
??3
ln(1?1
（２）)
xlim
???arctanx
? （３）lim11x?0(x2?
xtanx)=1
3 （４）lim(sinx)x
x?0
?
?２．选择题
（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A． limnnlim
lnnn??nlim
1n??
?e
?e
n??n?1
B． lim
x?sinxx?0x?sinx? lim1?cosx
x?01?cosx
??
x2sin111C． lim
x2xsin?cos
x?0sinx?limxx不存在 x?0cosx
D． lx1
x?i0ex=limx?0e
x?1
（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）
A． limx2x?0sinx B． xlim?0?(1x)tanx C． limx?sinxx??x
D． xlimxn
???ex
3． 求下列极限
limxm?am
（１）x?axn?an
．
解： limxm?ammxm?1mx?axn?an=lim
x?anxn?1?n
am?n
． 2x?2?x（２）lim?2x?0x
2． 解： lim2x?2?x?22xln2?2?xln22x(ln2)2?2?x(ln2)22
x?0x
2=limx?02x=limx?02=(ln2)．
（３）lim
sinx?tanx
．
x?0x3
1
x?(?x2)
解：limsinx?tanxx?0x3＝limtanx(cosx?1)x?0x3?limx?0x3＝?12． （４） limex?sinx?1
．
x?0(arcsinx)2
解：limex?sinx?1
ex?sinx?1ex?cosxex2＝x?0(arcsinx)limx?0x
2＝limx?02x?lim?sinxx?02?12．
（５）limx?xx
．
x?11?x?lnx
解： (xx)??xx(1?lnx)， xx
?xx(1?lnx)2?xx
1lim
x?x
xx?11?x?lnx＝lim1?x(1?lnx)x?1＝lim
?1?
1
x?1x
?1x2
?limx?1
[xx?2(1?lnx)2?xx?1]?2．
（６） lim(1x?0x?1ex?1
)． 12解：lim11x?0(x?ex?1)?limex
?x?12x1x?0x(ex?1)?limx?0x
2?2
（７） 1
tanx
xlim?0
?
(x
) ．
11
?limtanxlnx
?lim
lnx
limlim
sin2x
解：tanx
x?0?
x?0?cotx
xlim?0
?
(x
)?e?e
?e
?xx?0
??csc2x?e
x?0?x?1．
（８）limln(1x
3
x???
?2)ln(1?
x
)． 2xln2
解： x33xln(1?2x)xxlim???ln(1?2)ln(1?x)=xlim???xln(1?2)?3xlim???x?3xlim
???1
=3ln2xlim2
x???1?2x
=3ln2．
（９） lin??
n．
解： 因为limx?e
xlim1??x
lnx
xlim
1
??x
x??
?e
?1，所以nlim??
n=1．
§4.3函数的单调性与曲线的凹凸性
1． 填空题
（１） 函数y?4x2?ln(x2)的单调增加区间是(?
11
,0)?(,??)，单调减少区间22
11
(??,?)?(0,)．
22
（２）若函数f(x)二阶导数存在，且f??(x)?0,f(0)?0，则F(x)?是单调 增加 ．
（３）函数y?ax2?1在(0,??)内单调增加，则a?0．
（４）若点（1，3)为曲线y?ax3?bx2的拐点，则a??凸区间为(1,?)．
2． 单项选择题
（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A. y?2 (??,??) B. y?e (??,0) C. y?lnx (0,??) D. y?sinx (0,?)
（２）设f?(x)?(x?1)(2x?1)，则在区间(,1)内（ B ）． A. y?f(x)单调增加，曲线y?f(x)为凹的 B. y?f(x) 单调减少，曲线y?f(x)为凹的 C. y?f(x)单调减少，曲线y?f(x)为凸的 Ｄ．y?f(x)单调增加，曲线y?f(x)为凸的
（３）f(x)在(??,??)内可导, 且?x1,x2,当 x1?x2时, f(x1)?f(x2),则( D ) A. 任意x,f?(x)?0 B. 任意x,f?(?x)?0 C. f(?x)单调增 D. ?f(?x)单调增
（４）设函数f(x)在[0,1]上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) B. f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) C. f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) D. f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0) 2． 求下列函数的单调区间 （１）y?e?x?1．
解：y??e?1，当x?0时，y??0,所以函数在区间[0,??)为单调增加； 当x?0时，y??0，所以函数在区间(??,0]为单调减少．
（２）y?(2x?
xx?x
x
f(x)
在0?x???上x
39，b?，曲线的凹区间为(??,1)，
22
1
2
10?3
解：y??x(x?1)，
3
当x?1，或x?0时，y??0,所以函数在区间(??,0]?[1,??)为单调增加； 当0?x?1时，y??0，所以函数在区间[0,1]为单调减少．
（３）y?ln(x??x2)
1
1?
解： y??
x?x2
2
x??x
?
1?x
2
?0，故函数在(??,??)单调增加．
3． 证明下列不等式
（１）证明： 对任意实数a和b, 成立不等式证明：令f(x)?
|a?b||a||b|
??．
1?|a?b|1?|a|1?|b|
x1，则f?(x)??0， f(x)在[ 0 , ?? )内单调增加. 2
1?x(1?x)
于是, 由 |a?b| ? |a|?|b|, 就有 f( |a?b| )?f( |a|?|b| ), 即
|a?b||a|?|b||a||b||a||b|
?????
1?|a?b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|?|b|1?|a|1?|b|
（２）当x?1时, lnx?
2(x?1)
． x?1
'
证明：设f(x)?(x?1)lnx?2(x?1)， f(x)?lnx?
1
?1，由于当x?1时，x
11
?2?0, 因此f?(x)在[1,??)单调递增, 当 x?1时, f?(x)?f?(1)?0, 故f(x)在xx
[1,??)单调递增, 当 x?1时, 有f(x)?f(1)?0.故当x?1时,f(x)?(x?1)lnx?2(x?1)?0,
2(x?1)
因此lnx?．
x?1f??(x)?
x3
（３）当 x?0时，sinx?x?．
6x3x2
?0，证明：设f(x)?sinx?x?, f?(x)?cosx?1?当x?0，f??(x)?x?sinx?0， 26
所以f?(x)在[0,??)单调递增, 当 x?0时, f?(x)?f?(0)?0, 故f(x)在[0,??)单调递增, 从x3
而当 x?0时, 有f(x)?f(0)?0. 因此当 x?0时，sinx?x?．
6
??
4． 讨论方程x?sinx?k(其中k为常数)在(0,)内有几个实根．
22???
解：设?(x)?x?sinx?k, 则?(x)在[0,]连续, 且?(0)??k,?()??k，
222
由??(x)?1?
?
2
cosx?0，得x?arccos
2
?
为(0,
?
2
)内的唯一驻点．第一文库网
22?
?(x)在[0,arccos]上单调减少，在[arccos,]上单调增加．
??2
?222?4
故?)???k为极小值，因此?(x)在[0,]的最大值是?k,最
2??2
22?4
小值是??k．
?2
?2?2?4
（１） 当k?0,或k??时,方程在(0,)内无实根；
2?2
2?2?4
（２） 当??k?0时,有两个实根；
?2
22?4
（３） 当k??时，有唯一实根．
?2
(1,?10)5． 试确定曲线y?ax3?bx2?cx?d中的a、b、c、d，使得x??2处曲线有水平切线，
为拐点，且点(?2,44)在曲线上．
解： y??3ax2?2bx?c,y???6ax?2b，所以
?3a(?2)2?2b(?2)?c?0?
6a?2b?0?
?
a?b?c?d??10?
32??a(?2)?b(?2)?c(?2)?d?44
解得： a?1,b??3,c??24,d?16．
6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间
x
2
x?1x2?12x3?6x
解： y??1?2, y???2, 23
(x?1)(x?1)
令y???0,得x?0，当x??1时y??不存在．
当?1?x?0或x?1时, y???0,当x??1或0?x?1时, y???0．
x
故曲线y?x?2在(??,?1)?(0,1)上是凸的, 在区间和(?1,0)?(1,??)上是凹的，
x?1
曲线的拐点为(0,0)．
（１）y?x?
（２）y?(2x?5)x2拐点及凹或凸的.区间
，y??? 1
当x?0时，y?,y??不存在；当x??时，y???0．
2
解：y??
故曲线在(??,?)上是凸的, 在(?
1211
,??)上是凹的，(?,?32)是曲线的拐点, 22
xx
? 2?
xx1x11x
证明：令f(x)?sin?, 则f?(x)?cos?, f??(x)??sin．
2?22?42
xx
当0?x??时, f??(x)?0, 故函数f(x)?sin?的图形在(0,?)上是凸的, 从而曲线
2?
y?f(x)在线段AB（其中A(0,f(0)),B(?,f(?)）的上方，又f(0)?f(?)?0, 因此f(x)?0,
xx即sin?．
2?
7．利用凹凸性证明: 当0?x??时, sin
§4.4 函数的极值与最大值最小值
1． 填空题
（１）函数y?x2x取极小值的点是x??
23
2
13
1． ln2
（２） 函数f(x)?x?(x?1)在区间[0,2]上的最大值为f(
12
)?
2
2
，最小值为
f(0)??1 ．
2．选择题
（１） 设f(x)在(??,??)内有二阶导数，f?(x0)?0，问f(x)还要满足以下哪个条件，则
f(x0)必是f(x)的最大值？（ C ）
A． x?x0是f(x)的唯一驻点 B． x?x0是f(x)的极大值点 C． f??(x)在(??,??)内恒为负 D． f??(x)不为零
（２） 已知f(x)对任意y?f(x)满足xf??(x)?3x[f?(x)]2?1?e?x，若
f?(x0)?0 (x0?0)，则（ B ）
A. f(x0)为f(x)的极大值 B. f(x0)为f(x)的极小值 C. （x0,f(x0))为拐点 D. f(x0)不是极值点, （x0,f(x0))不是拐点
（３）若f(x)在x0至少二阶可导, 且lim
x?x0
f(x)?f(x0)
??1,则函数f(x)在x0处( Ａ ) 2
(x?x0)
A． 取得极大值 B． 取得极小值 C． 无极值 D． 不一定有极值
3． 求下列函数的极值 （１） f?x??x?
32/3
x． 2
解：由f?(x)?1?x
?
13
?0，得x?1．
1?4
f??(x)?x3,f''(1)?0，所以函数在x?1点取得极小值．
3
（２）f(x)?x．
1x
1
(1?lnx)， x2
令y??0得驻点x?e，当x?(0,e)时，y??0，当x?(e,??)时，y??0．
解：定义域为(0,??)，y?e
1lnxx
, y??x
1x
因此y(e)?e为极大值．
32
4． 求y?2x?3x?12x?14的在[?3,4]上的最大值与最小值．
解：y(?3)?23, y(4)?132．
由y??6x2?6x?12?0，得x?1, x??2．
而y(1)?7,y(?2)?34, 所以最大值为132，最小值为7．
5． 在半径为R的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V最大． 解：设圆锥体的高为h, 底半径为r,故圆锥体的体积为V?由于(h?R)2?r2?R2，因此V(h)?
1
e
1
? r2h， 3
1
? h(2Rh?h2) (0?h?2R)， 3
14R222
由V?(h)?? (4Rh?3h)?0，得h?，此时r?R．
333
由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在(0,2R)的内部取得. 现在V?(h)?0在(0,2R)内只有一
个根,故当h?
6. 工厂C与铁路线的垂直距离AC为20km, A点到火车站B的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD, 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B与工厂C间的运费最省, 问D点应选在何处？
解: 设AD?x? B与C间的运费为y, 则 y?5k400?x2?3k(100?x) （0?x?100）， 其中k是某一正数． 由 y??k(
4R22, r?R时, 内接锥体体积的最大． 33
5x400?x
2
?3)?0? 得x?15?
1
? 其中以y|x?15?380k为最小? 因25
由于y|x?0?400k? y|x?15?38k0???y|x?100??此当AD?x?15km时? 总运费为最省．
7． 宽为b的运河垂直地流向宽为a的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?
解： 问题转化为求过点C的线段AB的最大值. 设木料的长度为l, AC?x,CB?y，木料与河岸的夹角为t，则x?y?l，且
x?
acost,y?bsint, l?acost?bsint t?(0,?2)．
则
l??
asintcos2t?bcost
sin2t
， 2
2
3
由l??0得tant?3b
, 此时l?(a3?b3)2a
，
223
故木料最长为l?(a3
?b3
)2．
§4.5 函数图形的描绘
１．求y?x3
(x?1)2
的渐近线.
x3
解：由 lim??1(x?1)2???，所以x?1为曲线y?f(x)的铅直渐近线．
x因为 limyx2x3
x??x?limx??(x?1)2?1,limx??(y?x)?limx??(x?1)2
?x??2
所以y?x?2为曲线y?f(x)的斜渐近线．
第四章 综合练习题
1．填空题
（１） lim1ln(1?1
)
x?0xsinx?xlim???arctanx?．
（２） 函数y?x?ln(x?1)在区间(?1,0)内单调减少，在区间(0,??)内单调增加． （３） 曲线y?1
x?ln(1?ex)的渐近线是x?0和y?0． （４）lim(tanx)cosx?．
x??
2?0
2． 求下列极限
（１） lim?tanx??sinx
x?0xln(1?x)?x2 解：lim?tanx??sinxtanx?sinx1
x?0xln(1?x)?x2＝limx?0x[ln(1?x)?x]??tanx??sinx ＝11
2lim1?cosx
ln(1?x)?x?limtanx
x＝11?cosxsinx
x?0x?02lim＝x?0ln(1?x)?x2limx?01 1?x?1
＝?1sinx
2limx?0x(1?x)??1
2．
(?sin1?1cos11
（２） limxxx)cosx
x??1 (ex?a?ea)2sin1
x
(?sin1?1111111111
解：limcos)cos(?sin?cos)cos?sin?cos
x??=lim=lim11
(ex?a?ea)2sin1x??2ax21x??
xe(e?1)sinxe2a(1
x)21
x
1111
=12cosx?2cosx?1
3sin1x
e2alim??1． x???33e2a
x4
3． 求证当x?0时， x?12
2x?ln(1?x)．
证明： 令f(x)?ln(1?x)?x?1
2x2, 则
f?(x)?1
1?x?1?x?x2
1?x,
11
当x?0时, f?(x)?0，故f(x)在[0,??)单调增． 当x?0时，有f(x)?f(0)?0，即
12x?ln(1?x)． 2
4． 设f(x)在[a,b]上可导且b?a?4，证明：存在点x0?(a,b)使f?(x0)?1?f2(x0).
?f?(x)|F(x)|?证明： 设F(x)?arctanf(x), 则F?(x)?，且． 221?f(x)
F(b)?F(a)?F?(x0), 即 由拉格朗日中值定理知, 存在x0?(a,b)，使b?ax?
?
f?(x0)F(b)?F(a)|F(b)|?|F(a)|??????1． 2b?ab?a441?f(x0)
5． 设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值, 且??f(a)?g(a), f(b)?g(b), 证明： 存在??(a,b),使得f??(?)?g??(?)．
证明： 设f(x),g(x)分别在x1,x2?(a,b)取得最大值M， 则f(x1)?g(x2)?M, 且f?(x1)?g?(x2)?0． 令F(x)?f(x)?g(x)．
当x1?x2时, F(a)?F(b)?F(x1)?0, 由罗尔定理知, 存在?1?(a,x1),?2?(x1,b), 使 F?(?1)?F?(?2)?0, 进一步由罗尔定理知, 存在??(x1,x2)，使F??(?)?0，即f??(?)?g??(?)
当x1?x2时, F(x1)?M?g(x1)?0,F(x2)?f(x2)?M?0，由零点存在定理可知，存在?1?[x1,x2]，使F(?1)?0． 由于F(a)?F(b)?0，由前面证明知, 存在??(a,b)，使F??(?)?0，即f??(?)?g??(?)．
1?1有且仅有一个正的实根． x2
11证明：设f(x)?kx?2?1． 当k?0，显然2?1只有一个正的实根．下考虑k?0时的xx6． 设k?0,证明方程kx?
情况．
先证存在性： 因为f(x)在(0,??)内连续，且limf(x)???，limf(x)???，由零点存在定x?0x???
1?1至少有一个正的实根． 2x
再证唯一性：假设有x1,x2?0，且x1?x2，使f(x1)?f(x2)?0，根据罗尔定理，存在
22??(x1,x2)?(0,??)，使f?(?)?0，即k?3?0，从而k?3?0，这与k?0矛盾．故方理知，至少存在一个??(0,??)，使f(?)?0，即kx???
程kx?
1?1只有一个正的实根． x2
327． 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上8时开始工作，在t小时之后，生产出Q(t)??t?9t?12t个产品．问：在早上几点钟这个工人工作效率最高？
2解：因为x(t)?Q?(t)??3t?18t?12,x?(t)?Q??(t)??6t?18, 令x?(t)?0,得t?3． 又
当t?3时，x?(t)?0．函数x(t)在[0,3]上单调增加；当t?3时，x?(t)?0，函数x(t)在[3,??)上单调减少．故当t?3时，x(t)达到最大, 即上午11时这个工人的工作效率最高．
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