高考中探索性问题的题型分析
高考中探索性问题的题型分析四川省乐至县吴仲良中学 毛仕理
随着以培养学生的创新精神和实践能力为重点的素质教育的深入发展，高考命题将更加关注“探索性问题”．从最近几年来高考中探索性问题逐年攀升的趋势，可预测探索性问题仍将是高考命题“孜孜以求的目标”．
常规的解答题或证明题，其条件或结论都明确给出，解题过程实际上就是由因导果或由果索因，是一个展开思维走向的过程．
由给定的题设条件探求相应的结论，或由给定的题断追溯应具备的条件，或变更题设、题断的某个部分使命题也相应变化等等，这一类问题称之为探索性问题．由于这类题型没有明确的结论，解题方向不明，自由度大，需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论，再对所得出的结论予以证明．其难度大、要求高，是训练和考查学生的创新精神，数学思维能力、分析问题和解决问题能力的好题型．近几年高考中探索性问题分量加重，在选择题、填空题、解答题中都已出现．
高考常见的探索性问题，就其命题特点考虑，可分为题设开放型、结论开放型、题设和结论均开放型以及解题方法的开放型几类问题．
一、结论开放型
结论开放型探索性问题的特点是给出一定的条件而未给出结论，要求在给定的前提条件下，探索结论的多样性，然后通过推理证明确定结论．解决这类问题的总体思路是：先假设结论存在，并依此进行推理，若能推出矛盾。即可否定假设；若能推出合理结果，经验证成立，即可肯定假设成立．
例1 有两个不是常数数列的等差数列{an}和等比数列{bn}，且a1=b1=l，那么它们最多有多少个对应项的值相等?你能举出具体的例子吗?
解析 根据题意，要找出有多少个对应项的值相等，可以分别设数列的通项
an=1+(n-1)d (公差d≠0)．
bn=qn-1(公比q≠0，1)．
由对应项的值相等an=bn，有1+(n-1)d = qn-1．
于是，问题归结为讨论这个关于n(n∈N*)的方程解的个数，这个结果不易直接得出．怎么办呢?如果换位思考，用数形结合的思想去探索，则可以转化为两个函数的图象自变量取正整数时交点的个数，这个问题就变得很具体了．
令y1=1+(n-1)d (d≠O)，
y2= qn-1 (q≠0，1)．
函数y1的图象是直线上自变量取正整数的点；函数y2的图象是指数函数的图象右移1个单位，且白变量取正整数的点．显然两者的图象均过点(1，1)．
图l
(1)q>0，且q≠1时，①若d>0，y1单调递增，则仅当q>l时，y1与y2可能再有交点，且最多再有一个(如图l)；②若d<0，y1单调递减，则仅当0<q<1时，y1、y2才能再有交点，且最多再有1个(如图2)．
(2)q<0，y2=qn-1对应的点分别在y=|q|n-1和y=-|q|n-1两个函数的图象上，y1与y2的图象最多再有2个交点(如图3)．
综上所述，两数列中对应项相等的项不超过3个． 图2
特别地，选取等差数列{an}：1, , ,- ,…
等比数列{bn}：l，- ， ，- ,…
其中，a1=b1=1,a3=b3= ,a4=b4=- ,…
点拨 本题运用两次等价转化思想，把问题转化为两个函数图象自变量取正整数交点的个数，然后再运用数形结 图3
合思想予以探索解答．转化思想和数形结合思想在解决数学问题中经常应用．
二、题设开放型
题设开放型探索性问题的特点是给出结论，不给出条件或条件残缺，需在给定结论的前提下，探索结论成立的条件，但满足结论成立的条件往往不唯一，答案与已知条件对整个问题而言只要是充分的、相容的、独立的．就视为正确的．解决这类问题的总体思路是：采用分析法，把结论看作已知进行逆推，探索结论所需的条件．
例2 如图，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，当底面四边形 A
ABCD满足条件___________ 时，有A1C⊥B1D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有的情形)．
解析 题目给出了部分条件及确定的结论，要求深入认识其内在联系，填写能得到结论的一种条件．
∵A1B1C1D1—ABCD是直四棱柱．
∴A1A⊥底面ABCD，B1B与D1D平行且相等．而AC是A1C在底面ABCD上的射影，
B1D1∥BD，
要使A1C⊥B1D1，只要A1C上BD，进而只需AC⊥BD．
这就是底面ABCD所需满足的条件．
点拨 填写四边形ABCD是正方形、菱形皆可．因为这些特殊四边形都包含着本题所需的本质：AC⊥BD．AC⊥BD是结论A1C⊥B1D1成立的充要条件，而所填的ABCD是正方形或菱形则是使结论A1C⊥B1D1成立的充分而不必要的条件．
三、全开放型
题设、结论都不确定或不太明确的开放型探索性问题，与此同时解决问题的方法也具有开放型的探索性问题，需要我们进行比较全面深入的探索，才能研究出解决问题的办法来．
例3 某自来水厂要制作容积为500 m3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制箱材料：①19×19；②30×10；③25×12．(长度单位：m)．
请你选择一种规格的材料，并设计出相应的制作方案．(要求：①用料最省；②简便易行)．
解析 要求设计方案满足“用料最省”，即使无盖水箱的表面积最小．如图1，该水箱的长、宽、高分别为a、b、c.
则其体积V=abc=500(m3)． 图1
其表面积S=2bc+2ac+ab≥3 =3 =300(m2)，
当且仅当2bc=2ac=ab，即a=b=10，c=5时，
S=2bc+2ac+ab=300m2为最小．
这表明，将无盖长方体的尺寸设计为：10×10×5(即2：2：1)时，用料最省．
为了选择材料并设计制作方案，我们进行逆向思维，先将无盖水箱长方体展开成如图2的平面图，进一步剪拼成如图3的长30 m、宽10 m(长：宽=3：1)的长方形．因此，应选择规格为30×10的材料制作．制作方案如图4．可以看出，这种“先割后补”的方案，不但可使用料最省，而且简便易行．
图3
图2 图4
点拨 本题既具有开放性又具有实际应用价值，对学生的思维能力和应用能力要求比较高，首先要想到“用料最省”等价于“无盖长方体表面积最小”，而设计相应的制作方案则要求学生设计合理的程序、对自己的实验(剪拼)结果进行评价．
在推进素质教育的过程中，我们认为进行探索性问题的训练，是数学教育走出困境的一个好办法．由于数学开放探索题有利于学生创新意识的培养和良好思维品质的形成，它越来越受到教育界人士的关注和深入研究，在高考中起着愈来愈重要的作用．在今后几年高考中，有如下的预测：
1.从1999年～2004年的高考中，探索性问题逐年攀升的趋势，可预测今后将会加大开放探索性考题的力度．
2.在2003年和2004年连续两年高考题中，出现以解析几何为背景的结论开放型探索性的解答题，说明这类题型仍将是高考解答题的重点．
3.设计开放探索题，能考查学生的创新意识，特别应鼓励学生创新性的解答，这就反映学生的创新意识，应该很好鼓励．
4.将在方法型开放探索题中有所突破，用非常规的解题方法，或者指定两种以上方法解同一个问题，或者在题设或结论开放型的问题中解决方法也具有一定的开放性问题，都可能在高考中出现．