高二数学教案

时间：2023-01-05 08:07:56 数学教案我要投稿

高二数学教案

　　作为一名教职工，可能需要进行教案编写工作，教案有助于学生理解并掌握系统的知识。我们该怎么去写教案呢？以下是小编精心整理的高二数学教案，希望对大家有所帮助。

高二数学教案

　　高二数学教案篇1

　　教学目标

　　1、知识与技能

　　(1)推广角的概念、引入大于角和负角;(2)理解并掌握正角、负角、零角的定义;(3)理解任意角以及象限角的概念;(4)掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法;(5)树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念;(6)揭示知识背景，引发学生学习兴趣.(7)创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.

　　2、过程与方法

　　通过创设情境：“转体，逆(顺)时针旋转”，角有大于角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念;角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示;讲解例题，总结方法，巩固练习.

　　3、情态与价值

　　通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.

　　教学重难点

　　重点:理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.

　　难点:终边相同的`角的表示.

　　教学工具

　　投影仪等.

　　教学过程

　　【创设情境】

　　思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25

　　小时，你应当如何将它校准?当时间校准以后，分针转了多少度?

　　[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.

　　【探究新知】

　　1.初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢?

　　[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点o按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角a.旋转开始时的射线叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点o叫做叫a的顶点.

　　2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体”(即转体2周)，“转体”(即转体3周)等,都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?

　　[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角,这些都说明了我们研究推广角概念的必要性.为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positiveangle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negativeangle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zeroangle).

　　8.学习小结

　　(1)你知道角是如何推广的吗?

　　(2)象限角是如何定义的呢?

　　(3)你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x轴、y轴、直

　　线上的角的集合.

　　五、评价设计

　　1.作业：习题1.1A组第1,2,3题.

　　2.多举出一些日常生活中的“大于的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，

　　进一步理解具有相同终边的角的特点.

　　课后小结

　　(1)你知道角是如何推广的吗?

　　(2)象限角是如何定义的呢?

　　(3)你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x轴、y轴、直

　　线上的角的集合.

　　课后习题

　　作业：

　　1、习题1.1A组第1,2,3题.

　　2.多举出一些日常生活中的“大于的角和负角”的例子，熟练掌握他们的表示，

　　进一步理解具有相同终边的角的特点.

　　高二数学教案篇2

　　一、教学目标设计

　　1. 了解利用科学计算免费软件--Scilab软件编写程序来实现算法的基本过程.

　　2. 了解并掌握Scilab中的基本语句,如赋值语句、输入输出语句、条件语句、循环语句;能在Scipad窗口中编辑完整的程序,并运行程序.

　　3. 通过上机操作和调试,体验从算法设计到实施的过程.

　　二、教学重点及难点

　　重点: 体会算法的实现过程,能认识到一个算法可以用很多的.语言来实现,Scilab只是其中之一.

　　难点:体会编程是一个细致严谨的过程,体会正确完成一个算法并实施所要经历的过程.

　　三、教学流程设计

　　四、教学过程设计

　　(一)几个基本语句和结构

　　1、赋值语句(=)

　　2、输入语句输入变量名=input(提示语)

　　3、输出语句 print() disp()

　　4、条件语句

　　5、循环语句

　　(二)几个程序设计

　　建议:直接在Scilab窗口下编写完整的程序,保存后再运行;如果不能运行或出现逻辑错误

　　可打开程序后直接修改,修改后再保存运行,反复调试,直到测试成功.

　　高二数学教案篇3

　　教学目标

　　1．掌握椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程；

　　2．能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程；

　　3．通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力；

　　4．通过椭圆的标准方程的推导，使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数形结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标法解决几何问题的能力；

　　5．通过让中国学习联盟胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识．

　　教学建议

　　教材分析

　　1．知识结构

　　2．重点难点分析

　　重点是椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式．难点是椭圆标准方程的建立和推导．关键是掌握建立坐标系与根式化简的方法．

　　椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容：一是椭圆的定义；二是椭圆的标准方程．椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中首先遇到的，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，在双曲线和抛物线的教学中巩固和应用．先讲椭圆也与第七章的圆的方程衔接自然．学好椭圆对于学生学好圆锥曲线是非常重要的．

　　（1）对于椭圆的定义的理解，要抓住椭圆上的点所要满足的条件，即椭圆上点的几何性质，可以对比圆的定义来理解．

　　另外要注意到定义中对“常数”的限定即常数要大于．这样规定是为了避免出现两种特殊情况，即：“当常数等于时轨迹是一条线段；当常数小于时无轨迹”．这样有利于集中精力进一步研究椭圆的标准方程和几何性质．但讲解椭圆的定义时注意不要忽略这两种特殊情况，以保证对椭圆定义的准确性．

　　（2）根据椭圆的定义求标准方程，应注意下面几点：

　　①曲线的方程依赖于坐标系，建立适当的坐标系，是求曲线方程首先应该注意的地方．应让学生观察椭圆的图形或根据椭圆的定义进行推理，发现椭圆有两条互相垂直的对称轴，以这两条对称轴作为坐标系的两轴，不但可以使方程的推导过程变得简单，而且也可以使最终得出的方程形式整齐和简洁．

　　②设椭圆的焦距为，椭圆上任一点到两个焦点的距离为，令，这些措施，都是为了简化推导过程和最后得到的方程形式整齐、简洁，要让学生认真领会．

　　③在方程的推导过程中遇到了无理方程的化简，这既是我们今后在求轨迹方程时经常遇到的问题，又是学生的难点．要注意说明这类方程的化简方法：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一侧，把其他项移至另一侧；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两侧，并使其中一侧只有一项．

　　④教科书上对椭圆标准方程的推导，实际上只给出了“椭圆上点的坐标都适合方程 “而没有证明，”方程的解为坐标的点都在椭圆上”．这实际上是方程的同解变形问题，难度较大，对同学们不作要求．

　　（3）两种标准方程的椭圆异同点

　　中心在原点、焦点分别在轴上，轴上的椭圆标准方程分别为：，．它们的相同点是：形状相同、大小相同，都有，．不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同．

　　椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大；

　　椭圆的焦点在轴上标准方程中项的分母较大．

　　另外，形如中，只要，，同号，就是椭圆方程，它可以化为．

　　（4）教科书上通过例3介绍了另一种求轨迹方程的常用方法——中间变量法．例3有三个作用：第一是教给学生利用中间变量求点的轨迹的方法；第二是向学生说明，如果求得的点的轨迹的方程形式与椭圆的标准方程相同，那么这个轨迹是椭圆；第三是使学生知道，一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆．

　　教法建议

　　（1）使学生了解圆锥曲线在生产和科学技术中的应用，激发学生的学习兴趣．

　　为激发学生学习圆锥曲线的兴趣，体会圆锥曲线知识在实际生活中的作用，可由实际问题引入，从中提出圆锥曲线要研究的问题，使学生对所要研究的内容心中有数，如书中所给的例子，还可以启发学生寻找身边与圆锥曲线有关的例子。

　　例如，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的轨道——椭圆上运行，太阳系的其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上．如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行．人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵循这个原理．相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一个物体的运动，不可能有任何其他的轨道．因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式，另外，工厂通气塔的外形线、探照灯反光镜的轴截面曲线，都和圆锥曲线有关，圆锥曲线在实际生活中的价值是很高的．

　　（2）安排学生课下切割圆锥形的事物，使学生了解圆锥曲线名称的来历

　　为了让学生了解圆锥曲线名称的来历，但为了节约课堂时间，教学时应安排让学生课后亲自动手切割圆锥形的萝卜、胶泥等，以加深对圆锥曲线的认识．

　　（3）对椭圆的定义的引入，要注意借助于直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。

　　教师可从太阳、地球、人造地球卫星的运行轨道，谈到圆萝卜的切片、阳光下圆盘在地面上的影子等等，让学生先对椭圆有一个直观的了解。

　　教师可事先准备好一根细线及两根钉子，在给出椭圆在数学上的严格定义之前，教师先在黑板上取两个定点（两定点之间的距离小于细线的长度），再让两名学生按教师的要求在黑板上画一个椭圆。画好后，教师再在黑板上取两个定点（两定点之间的距离大于细线的长度），然后再请刚才两名学生按同样的要求作图。学生通过观察两次作图的过程，总结出经验和教训，教师因势利导，让学生自己得出椭圆的严格的定义。这样，学生对这一定义就会有深刻的了解。

　　（4）将提出的问题分解为若干个子问题，借助多媒体课件来体现椭圆的定义的实质

　　在教学时，可以设置几个问题，让学生动手动脑，独立思考，自主探索，使学生根据提出的问题，利用多媒体，通过观察、实验、分析去寻找解决问题的途径。在椭圆的.定义的教学过程（）中，可以提出“到两定点的距离的和为定值的点的轨迹一定是椭圆吗”，让学生通过课件演示“改变焦距或定值”，观察轨迹的形状，从而挖掘出定义的内涵，这样就使得学生对椭圆的定义留下了深刻的印象。

　　（5）注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系

　　在讲解椭圆的定义时，就要启发学生注意椭圆的图形特征，一般学生比较容易发现椭圆的对称性，这样在建立坐标系时，学生就比较容易选择适当的坐标系了，即使焦点在坐标轴上，对称中心是原点（此时不要过多的研究几何性质）．虽然这时学生并不一定能说明白为什么这样选择坐标系，但在有了一定感性认识的基础上再讲解选择适当坐标系的一般原则，学生就较为容易接受，也向学生逐步渗透了坐标法．

　　（6）推导椭圆的标准方程时教师要注意化解难点，适时地补充根式化简的方法．

　　推导椭圆的标准方程时，由于列出的方程为两个跟式的和等于一个非零常数，化简时要进行两次平方，方程中字母超过三个，且次数高、项数多，教学时要注意化解难点，尽量不要把跟式化简的困难影响学生对椭圆的标准方程的推导过程的整体认识．通过具体的例子使学生循序渐进的解决带跟式的方程的化简，即：（1）方程中只有一个跟式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；（2）方程中有两个跟式时，需将它们放在方程的两边，并使其中一边只有一项．（为了避免二次平方运算）

　　（7）讲解了焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程，然后鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，加深对椭圆的认识．

　　（8）在学习新知识的基础上要巩固旧知识

　　椭圆也是一种曲线，所以第七章所讲的曲线和方程的知识仍然使用，在推导椭圆的标准方程中要注意进一步巩固曲线和方程的概念．对于教材上在推出椭圆的标准方程后，并没有证明所求得的方程确是椭圆的方程，要注意向学生说明并不与前面所讲的曲线和方程的概念矛盾，而是由于椭圆方程的化简过程是等价变形，而证明过程较繁，所以教材没有要求也没有给出证明过程，但学生要注意并不是以后都不需要证明，注意只有方程的化简是等价变形的才可以不用证明，而实际上学生在遇到一些具体的题目时，还需要具体问题具体分析．

　　（9）要突出教师的主导作用，又要强调学生的主体作用，课上尽量让全体学生参与讨论，由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生的团结协作的团队精神。

　　高二数学教案篇4

　　一、学情分析

　　本节课是在学生已学知识的基础上进行展开学习的，也是对以前所学知识的巩固和发展，但对学生的知识准备情况来看，学生对相关基础知识掌握情况是很好，所以在复习时要及时对学生相关知识进行提问，然后开展对本节课的巩固性复习。而本节课学生会遇到的困难有：数轴、坐标的表示;平面向量的坐标表示;平面向量的坐标运算。

　　二、考纲要求

　　1.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

　　2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

　　3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.

　　4.能用坐标表示两个向量的夹角,理解用坐标表示的平面向量垂直的条件.

　　三、教学过程

　　(一)知识梳理:

　　1.向量坐标的求法

　　(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

　　(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

　　=xxxxxxxxxxxxxxxx_

　　||=xxxxxxxxxxxxxx_

　　(二)平面向量坐标运算

　　1.向量加法、减法、数乘向量

　　设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则

　　+=-=λ=.

　　2.向量平行的坐标表示

　　设=(x1，y1)，=(x2，y2)，则∥?xxxxxxxxxxxxxxxx.

　　(三)核心考点·习题演练

　　考点1.平面向量的坐标运算

　　例1.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设(1)求3+-3;

　　(2)求满足=m+n的实数m,n;

　　练：(20xx江苏,6)已知向量=(2,1),=(1,-2),若m+n=(9,-8)

　　(m,n∈R),则m-n的值为

　　考点2平面向量共线的坐标表示

　　例2:平面内给定三个向量=(3,2),=(-1,2),=(4,1)

　　若(+k)∥(2-),求实数k的值;

　　练：(20xx，四川，4)已知向量=(1,2),=(1,0),=(3,4).若λ为实数,(+λ)∥,则λ=( )

　　思考:向量共线有哪几种表示形式?两向量共线的充要条件有哪些作用?

　　方法总结:

　　1.向量共线的两种表示形式

　　设a=(x1,y1),b=(x2,y2),①a∥b?a=λb(b≠0);②a∥b?x1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②.

　　2.两向量共线的充要条件的作用

　　判断两向量是否共线(平行的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.

　　考点3平面向量数量积的.坐标运算

　　例3“已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,

　　则的值为;的值为.

　　【提示】解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利用向量的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷.

　　练：(20xx,安徽，13)设=(1,2),=(1,1),=+k.若⊥,则实数k的值等于( )

　　【思考】两非零向量⊥的充要条件:·=0? .

　　解题心得:

　　(1)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.

　　(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可建立直角坐标系利用向量的数量积的坐标表示来运算，这样可以使数量积的运算变得简捷.

　　(3)两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0?x1x2+y1y2=0.

　　考点4：平面向量模的坐标表示

　　例4：(20xx湖南,理8)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则的值为( )

　　A.6B.7C.8D.9

　　练：(20xx，上海，12)

　　在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(0，-1)，P是曲线上一个动点，则的取值范围是?

　　解题心得:

　　求向量的模的方法:

　　(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算;

　　(2)几何法,利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解..

　　五、课后作业(课后习题1、2题)

　　高二数学教案篇5

　　一、教学内容分析

　　向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用.

　　本小节的重点是结合向量知识证明数学中直线的平行、垂直问题，以及不等式、三角公式的证明、物理学中的应用.

　　二、教学目标设计

　　1、通过利用向量知识解决不等式、三角及物理问题，感悟向量作为一种工具有着广泛的应用，体会从不同角度去看待一些数学问题，使一些数学知识有机联系，拓宽解决问题的思路.

　　2、了解构造法在解题中的运用.

　　三、教学重点及难点

　　重点：平面向量知识在各个领域中应用.

　　难点：向量的构造.

　　四、教学流程设计

　　五、教学过程设计

　　一、复习与回顾

　　1、提问：下列哪些量是向量?

　　(1)力(2)功(3)位移(4)力矩

　　2、上述四个量中，(1)(3)(4)是向量，而(2)不是，那它是什么?

　　[说明]复习数量积的有关知识.

　　二、学习新课

　　例1(书中例5)

　　向量作为一种工具，不仅在物理学科中有广泛的应用，同时它在数学学科中也有许多妙用!请看

　　例2(书中例3)

　　证法(一)原不等式等价于，由基本不等式知(1)式成立，故原不等式成立.

　　证法(二)向量法

　　[说明]本例关键引导学生观察不等式结构特点，构造向量，并发现(等号成立的充要条件是)

　　例3(书中例4)

　　[说明]本例的关键在于构造单位圆，利用向量数量积的`两个公式得到证明.

　　二、巩固练习

　　1、如图，某人在静水中游泳，速度为km/h.

　　(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h，他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?

　　答案：沿北偏东方向前进，实际速度大小是8 km/h.

　　(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?

　　答案：朝北偏西方向前进，实际速度大小为km/h.

　　三、课堂小结

　　1、向量在物理、数学中有着广泛的应用.

　　2、要学会从不同的角度去看一个数学问题，是数学知识有机联系.

　　四、作业布置

　　1、书面作业：课本P73,练习8.4 4

　　高二数学教案篇6

　　平面向量共线的坐标表示

　　前提条件a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0

　　结论当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b(b≠0)共线

　　[点睛](1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x1x2=y1y2(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例;

　　(2)当a≠0，b=0时，a∥b，此时x1y2-x2y1=0也成立，即对任意向量a，b都有：x1y2-x2y1=0?a∥b.

　　[小试身手]

　　1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)

　　(1)已知a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2=x2y1.()

　　(2)向量(2,3)与向量(-4，-6)反向.()

　　答案：(1)√(2)√

　　2.若向量a=(1,2)，b=(2,3)，则与a+b共线的向量可以是()

　　A.(2,1)B.(-1,2)C.(6,10)D.(-6,10)

　　答案：C

　　3.已知a=(1,2)，b=(x,4)，若a∥b，则x等于()

　　A.-12B.12C.-2D.2

　　答案：D

　　4.已知向量a=(-2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在x轴上，则点B的坐标为________.

　　答案：73，0

　　向量共线的判定

　　[典例](1)已知向量a=(1,2)，b=(λ，1)，若(a+2b)∥(2a-2b)，则λ的值等于()

　　A.12B.13C.1D.2

　　(2)已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，-3).判断与是否共线?如果共线，它们的'方向相同还是相反?

　　[解析](1)法一：a+2b=(1,2)+2(λ，1)=(1+2λ，4)，2a-2b=2(1,2)-2(λ，1)=(2-2λ，2)，由(a+2b)∥(2a-2b)可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0，解得λ=12.

　　法二：假设a，b不共线，则由(a+2b)∥(2a-2b)可得a+2b=μ(2a-2b)，从而1=2μ，2=-2μ，方程组显然无解，即a+2b与2a-2b不共线，这与(a+2b)∥(2a-2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以1λ=21，即λ=12.

　　[答案]A

　　(2)[解]=(0,4)-(2,1)=(-2,3)，=(5，-3)-(1,3)=(4，-6)，

　　∵(-2)×(-6)-3×4=0，∴，共线.

　　又=-2，∴，方向相反.

　　综上，与共线且方向相反.

　　向量共线的判定方法

　　(1)利用向量共线定理，由a=λb(b≠0)推出a∥b.

　　(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.

　　[活学活用]

　　已知a=(1,2)，b=(-3,2)，当k为何值时，ka+b与a-3b平行，平行时它们的方向相同还是相反?

　　解：ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2)，

　　a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10，-4)，

　　若ka+b与a-3b平行，则-4(k-3)-10(2k+2)=0，

　　解得k=-13，此时ka+b=-13a+b=-13(a-3b)，故ka+b与a-3b反向.

　　∴k=-13时，ka+b与a-3b平行且方向相反.

　　三点共线问题

　　[典例](1)已知=(3,4)，=(7,12)，=(9,16)，求证：A，B，C三点共线;

　　(2)设向量=(k,12)，=(4,5)，=(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点

　　共线?

　　[解](1)证明：∵=-=(4,8)，

　　=-=(6,12)，

　　∴=32，即与共线.

　　又∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线.

　　(2)若A，B，C三点共线，则，共线，

　　∵=-=(4-k，-7)，

　　=-=(10-k，k-12)，

　　∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0.

　　解得k=-2或k=11.

　　有关三点共线问题的解题策略

　　(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看与，或与，或与是否共线，若共线，则A，B，C三点共线;

　　(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用=λ，或=λ，或=λ都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式.

　　高二数学教案篇7

　　一、教材分析

　　【教材地位及作用】

　　基本不等式又称为均值不等式，选自北京师范大学出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修5第3章第3节内容。教学对象为高二学生，本节课为第一课时，重在研究基本不等式的证明及几何意义。本节课是在系统的学习了不等关系和掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一,为后续进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题奠定基础。因此基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。

　　【教学目标】

　　依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：

　　知识与技能目标：理解掌握基本不等式，理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式;

　　过程与方法目标：通过探究基本不等式，使学生体会知识的形成过程，培养分析、解决问题的能力;

　　情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。

　　【教学重难点】

　　重点：理解掌握基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义。

　　难点：利用基本不等式推导不等式.

　　关键是对基本不等式的理解掌握.

　　二、教法分析

　　本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究;启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率.

　　三、学法指导

　　新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，倡导积极主动，勇于探索的学习方法，因此，本课主要采取以自主探索与合作交流的学习方式，通过让学生想一想，做一做，用一用，建构起自己的知识，使学生成为学习的主人。

　　四、教学过程

　　教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。

　　具体过程安排如下：

　　(一)基本不等式的教学设计创设情景，提出问题

　　设计意图：数学教育必须基于学生的“数学现实”，现实情境问题是数学教学的平台，数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基础上发展他们的数学现实.基于此,设置如下情境:

　　上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。

　　[问题1]请观察会标图形，图中有哪些特殊的几何图形?它们在面积上有哪些相等关系和不等关系?(让学生分组讨论)

　　(二)探究问题，抽象归纳

　　基本不等式的教学设计1.探究图形中的不等关系

　　形的角度----(利用多媒体展示会标图形的变化,引导学生发现四个直角三角形的面积之和小于或等于正方形的面积.)

　　数的角度

　　[问题2]若设直角三角形的两直角边分别为a、b,应怎样表示这种不等关系?

　　学生讨论结果：

　　[问题3]大家看，这个图形里还真有点奥妙。我们从图中找到了一个不等式。这里a、b的取值有没有什么限制条件?不等式中的等号什么时候成立呢?(师生共同探索)

　　咱们再看一看图形的变化，(教师演示)

　　(学生发现)当a=b四个直角三角形都变成了等腰直角三角形，他们的面积和恰好等于正方形的面积，即.探索结论：我们得到不等式，当且仅当时等号成立。

　　设计意图：本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式基本不等式的教学设计。在此基础上，引导学生认识基本不等式。

　　2.抽象归纳：

　　一般地，对于任意实数a,b，有，当且仅当a=b时，等号成立。

　　[问题4]你能给出它的证明吗?

　　学生在黑板上板书。

　　[问题5]特别地，当时，在不等式中，以、分别代替a、b，得到什么?

　　学生归纳得出。

　　设计意图：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础.

　　【归纳总结】

　　如果a,b都是非负数，那么，当且仅当a=b时，等号成立。

　　我们称此不等式为基本不等式。其中称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数。

　　3.探究基本不等式证明方法：

　　[问题6]如何证明基本不等式?

　　设计意图：在于引领学生从感性认识基本不等式到理性证明，实现从感性认识到理性认识的升华，前面是从几何图形中的面积关系获得不等式的，下面用代数的思想，利用不等式的性质直接推导这个不等式。

　　方法一：作差比较或由基本不等式的教学设计展开证明。

　　方法二：分析法

　　要证

　　只要证2

　　要证,只要证2

　　要证,只要证

　　显然,是成立的。当且仅当a=b时,中的等号成立。

　　4.理解升华

　　1)文字语言叙述：

　　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

　　2)符号语言叙述：

　　若，则有，当且仅当a=b时，。

　　[问题7]怎样理解“当且仅当”?(学生小组讨论，交流看法，师生总结)

　　“当且仅当a=b时，等号成立”的含义是：

　　当a=b时，取等号，即;

　　仅当a=b时，取等号，即。

　　3)探究基本不等式的几何意义：

　　基本不等式的教学设计借助初中阶段学生熟知的几何图形，引导学生探究不等式的几何解释，通过数形结合，赋予不等式几何直观。进一步领悟不等式中等号成立的条件。

　　如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，

　　CD⊥AB，AC=a,CB=b，

　　[问题8]你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?

　　(教师演示，学生直观感觉)

　　易证RtACDRtDCB，那么CD2=CA·CB

　　即CD=.

　　这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a=b时，等号成立.

　　因此：基本不等式几何意义可认为是：在同一半圆中，半径不小于半弦(直径是最长的弦);或者认为是，直角三角形斜边的一半不小于斜边上的高.

　　4)联想数列的知识理解基本不等式

　　从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义;从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系.

　　[问题9]回忆一下你所学的知识中，有哪些地方出现过“和”与“积”的结构?

　　归纳得出:

　　均值不等式的代数解释为:两个正数的等差中项不小它们的等比中项.

　　基本不等式的教学设计(四)体会新知，迁移应用

　　例1：(1)设均为正数，证明不等式：基本不等式的教学设计

　　(2)如图：AB是圆的直径，点C是AB上一点，设AC=a,CB=b，

　　，过作交于，你能利用这个图形得出这个不等式的一种几何解释吗?

　　设计意图：以上例题是根据基本不等式的使用条件中的难点和关键处设置的，目的是利用学生原有的'平面几何知识，进一步领悟到不等式成立的条件，及当且仅当时，等号成立。这里完全放手让学生自主探究，老师指导，师生归纳总结。

　　(五)演练反馈，巩固深化

　　公式应用之一：

　　1.试判断与与2的大小关系?

　　问题：如果将条件“x>0”去掉，上述结论是否仍然成立?

　　2.试判断与7的大小关系?

　　公式应用之二：

　　设计意图：新颖有趣、简单易懂、贴近生活的问题,不仅极大地增强学生的兴趣，拓宽学生的视野，更重要的是调动学生探究钻研的兴趣，引导学生加强对生活的关注，让学生体会：数学就在我们身边的生活中

　　(1)用一个两臂长短有差异的天平称一样物品，有人说只要左右各秤一次，将两次所称重量相加后除以2就可以了.你觉得这种做法比实际重量轻了还是重了?

　　(2)甲、乙两商场对单价相同的同类产品进行促销.甲商场采取的促销方式是在原价p折的基础上再打q折;乙商场的促销方式则是两次都打折.对顾客而言，哪种打折方式更合算?(0≠q)

　　(五)反思总结，整合新知：

　　通过本节课的学习你有什么收获?取得了哪些经验教训?还有哪些问题需要请教?

　　设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力;帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.从各种角度对均值不等式进行总结，目的是为了让学生掌握本节课的重点，突破难点

　　老师根据情况完善如下：

　　知识要点：

　　(1)重要不等式和基本不等式的条件及结构特征

　　(2)基本不等式在几何、代数及实际应用三方面的意义

　　思想方法技巧：

　　(1)数形结合思想、“整体与局部”

　　(2)归纳与类比思想

　　(3)换元法、比较法、分析法

　　(七)布置作业，更上一层

　　1.阅读作业:预习基本不等式的教学设计

　　2.书面作业:已知a，b为正数，证明不等式基本不等式的教学设计

　　3.思考题:类比基本不等式，当a,b,c均为正数，猜想会有怎样的不等式?

　　设计意图：作业分为三种形式，体现作业的巩固性和发展性原则，同时考虑学生的差异性。阅读作业是后续课堂的铺垫，而思考题不做统一要求，供学有余力的学生课后研究。

　　五、评价分析

　　1.在建立新知的过程中，教师力求引导、启发，让学生逐步应用所学的知识来分析问题、解决问题，以形成比较系统和完整的知识结构。每个问题在设计时，充分考虑了学生的具体情况，力争提问准确到位，便于学生思考和回答。使思考和提问持续在学生的最近发展区内，学生的思考有价值，对知识的理解和掌握在不断的思考和讨论中完善和加深。

　　2.本节的教学中要求学生对基本不等式在数与形两个方面都有比较充分的认识，特别强调数与形的统一，教学过程从形得到数，又从数回到形，意图使学生在比较中对基本不等式得以深刻理解。“数形结合”作为一种重要的数学思想方法，不是教师提一提学生就能够掌握并且会用的，只有学生通过实践，意识到它的好处之后，学生才会在解决问题时去尝试使用，只有通过不断的使用才能促进学生对这种思想方法的再理解，从而达到掌握它的目的。

　　高二数学教案篇8

　　一、教学目标

　　【知识与技能】

　　能正确概述“二面角”、“二面角的平面角”的概念，会做二面角的平面角。

　　【过程与方法】

　　利用类比的方法推理二面角的有关概念，提升知识迁移的能力。

　　【情感态度与价值观】

　　营造和谐、轻松的学习氛围，通过学生之间，师生之间的交流、合作和评价达成共识、共享、共进，实现教学相长和共同发展。

　　二、教学重、难点

　　【重点】

　　“二面角”和“二面角的平面角”的概念。

　　【难点】

　　“二面角的平面角”概念的形成过程。

　　三、教学过程

　　(一)创设情境，导入新课

　　请学生观察生活中的一些模型，多媒体展示以下一系列动画如：

　　1.打开书本的过程;

　　2.发射人造地球卫星，要根据需要使卫星的轨道平面与地球的赤道平面成一定的角度;

　　3.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，须使水坝坡面与水平面成适当的角度;

　　引导学生说出书本的两个面、水坝面与底面，卫星轨道面与地球赤道面均是呈一定的角度关系，引出课题。

　　(二)师生互动，探索新知

　　学生阅读教材，同桌互相讨论，教师引导学生对比平面角得出二面角的概念

　　平面角：平面角是从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形。

　　二面角定义：从一条直线出发的两个半面所组成的图形，叫作二面角。这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面。(动画演示)

　　(2)二面角的表示

　　(3)二面角的画法

　　(PPT演示)

　　教师提问：一般地说，量角器只能测量“平面角”(指两条相交直线所成的角.相应地，我们把异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，均称为空间角)那么，如何去度量二面角的大小呢?我们以往是如何度量某些角的.?教师引导学生将空间角化为平面角.

　　教师总结：

　　(1)二面角的平面角的定义

　　定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

　　“二面角的平面角”的定义三个主要特征：点在棱上、线在面内、与棱垂直(动画演示)

　　大小：二面角的大小可以用它的平面角的大小来表示。

　　平面角是直角的二面角叫做直二面角。

　　(2)二面角的平面角的作法

　　①点P在棱上—定义法

　　②点P在一个半平面上—三垂线定理法

　　③点P在二面角内—垂面法

　　(三)生生互动，巩固提高

　　(四)生生互动，巩固提高

　　1.判断下列命题的真假：

　　(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角。( )

　　(2)角的两边分别在二面角的两个面内，则这个角是二面角的平面角。( )

　　(3)二面角的平面角所在平面垂直于二面角的棱。( )

　　2.作出一下面PAC和面ABC的平面角。

　　(五)课堂小结，布置作业

　　小结：通过本节课的学习，你学到了什么?

　　作业：以正方体为模型请找出一个所成角度为四十五度的二面角，并证明。

　　高二数学教案篇9

　　一、学习者特征分析

　　本节课内容是面向高二下学期的学生，主要是进行思维的训练。学生在高一的时候已经学过这些数学思维方法，但是对这些知识还没有进行概念化的归纳和专门的训练。学生不知道分析法和综合法的时候还是会用一点，以以往的经验，学生一旦学习概念后，反而觉得难度大，概念混淆，因此，这一教学内容的设计是针对学生的这一情况，设计专题学习网站，通过学生之间经过学习，交流，课后反复思考的，进一步深化概念的过程，培养学生的数学思维能力。

　　二、教学目标

　　知识与技能

　　1. 体会数学思维中的分析法和综合法；

　　2. 会用分析法和综合法去解决问题。

　　过程与方法

　　1. 通过对分析法综合法的学习，培养学生的数学思维能力；

　　2. 培养学生的数学阅读和理解能力；

　　3. 培养学生的评价和反思能力。

　　情感态度与价值观

　　1．交流、分享运用数学思维解决问题的喜悦;

　　2．提高学生学习数学的兴趣；

　　3．增强学习数学的信心。

　　三、教学内容

　　本节课是数学思维训练专题课，专门训练学生利用分析法和综合法解题。分析法在数学中特指从结果（结论）出发追溯其产生原因的思维方法，即执果索因法。综合思维方法：综合是以已知性质和分析为基础的，从已知出发逐步推求位未知的思考方法，即执果导因法。这两种数学思维方法是数学思维方法中最基础也是最重要的方法，是学生的思维训练的重要内容。

　　四、教学策略的设计

　　1. 情境的设计

　　情境描述

　　情境简要描述

　　呈现方式

　　趣味问题

　　从前有个国王在处死那些犯了罪的臣子的时候，总是出一些这样那样的智力题给犯人做，用这种方法给那些更聪明的人一条生路，有一位正直的青年叫亚瑟，不幸得罪了国王，国王判他死罪，他所面临的问题是：“这里有三个盒子，金盒，银盒和铅盒，免死金牌放在其中一个盒子内，每只盒子各写一句话，但其中只有一句是真的，你要是猜中了免死金牌在哪个盒子里，就免你一死罪。”聪明的亚瑟经过推理而获知免死金牌所放的盒子，从而救了自己的命，请问亚瑟是如何推理的？

　　网页

　　2. 教学资源的设计

　　资源类型

　　资源内容简要描述

　　资源来源

　　相关故事

　　通过有趣的.推理故事，如“推理救命的故事”，“宝藏的故事，用于激发学生的学习兴趣。

　　网上下载

　　学习网站

　　专题学习网站，嵌入了经过修改适用于本课的论坛，在线测试等。

　　自行制作

　　3. 教学工具：计算机

　　4. 教学策略：自主探究学习策略，任务驱动策略、反思策略

　　5. 教学环境：网络教室

　　五、教学流程设计

　　1、创设情景，吸引学生注意

　　教师活动

　　学生活动

　　资源/工具

　　设计思想

　　提出“推理救命问题”

　　积极思考，寻找方法

　　学习网站

　　以具有趣味性的故事入手，吸引学生的注意，点明本节课的目的。

　　2、自主探究，获取知识

　　教师活动

　　学生活动

　　资源/工具

　　设计思想

　　1、初试牛刀：让学生试做思维训练题。

　　2、挑战高考题：在高考题中充分体现分析法，综合法。

　　3、举一反三：让学生学会总结

　　学以致用：

　　4、把本节的方法应用到解决数学问题中。

　　积极思考，互相交流，发现问题，解决问题。

　　学习网站

　　1、让学生在轻松活泼的氛围下带着问题，自主、积极地学习，有助于培养学生的自我探索的能力。

　　2、超级链接控制性好，交互性强，可让学生在较短的时间内收集积累更多的信息，拓宽学生的知识面。

　　3、培养学生收集信息、处理信息的能力。

　　3、总结概念，深化概念

　　教师活动

　　学生活动

　　资源/工具

　　设计思想

　　归纳本节的方法：分析法和综合法。并指出：数学思维的训练不单只是一节简单的专题课，我们的同学在平常多留心身边事物，多思考问题，不断提高数学思维能力。

　　体会分析法和综合法的概念，并在论坛上发表自己对概念的理解。

　　学习网站论坛

　　通过对具体问题的概念化，加深对概念的理解。

　　4、自主交流，知识迁移

　　教师活动

　　学生活动

　　资源/工具

　　设计思想

　　提出宝藏问题并指导学生利用BBs论坛进行讨论

　　学生在论坛里充分地发表自己的看法

　　学习网站论坛

　　通过自主交流，增强分析问题的能力和解决问题的能力

　　5、在线测试，评价及反馈

　　教师活动

　　学生活动

　　资源/工具

　　设计思想

　　利用学习网站制作一些简单的训练题目

　　独立完成在线的测试

　　学习网站

　　及时反馈课堂学习效果。

　　6、课后任务

　　教师活动

　　学生活动

　　资源/工具

　　设计思想

　　布置课后任务：在网络上收集推理分析的相关例子，在学习网站的论坛上讨论。

　　记录要求，并在课后完成。

　　网络资源和学习网站

　　通过课后的任务训练，进一步提高学生的数学思维能力，把思维训练延续到课堂外。

　　高二数学教案篇10

　　一、教学目标

　　1.知识与技能

　　(1)理解流程图的顺序结构和选择结构。

　　(2)能用文字语言表示算法，并能将算法用顺序结构和选择结构表示简单的流程图

　　2.过程与方法

　　学生通过模仿、操作、探索、经历设计流程图表达解决问题的过程，理解流程图的结构。

　　3情感、态度与价值观

　　学生通过动手作图，.用自然语言表示算法，用图表示算法。进一步体会算法的基本思想程序化思想，在归纳概括中培养学生的逻辑思维能力。

　　二、教学重点、难点

　　重点：算法的顺序结构与选择结构。

　　难点：用含有选择结构的流程图表示算法。

　　三、学法与教学用具

　　学法：学生通过动手作图，.用自然语言表示算法，用图表示算法，体会到用流程图表示算法，简洁、清晰、直观、便于检查，经历设计流程图表达解决问题的过程。进而学习顺序结构和选择结构表示简单的流程图。

　　教学用具：尺规作图工具，多媒体。

　　四、教学思路

　　(一)、问题引入揭示课题

　　例1 尺规作图，确定线段的一个5等分点。

　　要求：同桌一人作图，一人写算法，并请学生说出答案。

　　提问：用文字语言写出算法有何感受?

　　引导学生体验到：显得冗长，不方便、不简洁。

　　教师说明：为了使算法的表述简洁、清晰、直观、便于检查，我们今天学习用一些通用图型符号构成一张图即流程图表示算法。

　　本节要学习的是顺序结构与选择结构。

　　右图即是同流程图表示的算法。

　　(二)、观察类比理解课题

　　1、投影介绍流程图的符号、名称及功能说明。

　　符号符号名称功能说明终端框算法开始与结束处理框算法的各种处理操作判断框算法的各种转移

　　输入输出框输入输出操作指向线指向另一操作

　　2、讲授顺序结构及选择结构的概念及流程图

　　(1)顺序结构

　　依照步骤依次执行的一个算法

　　流程图：

　　(2)选择结构

　　对条件进行判断来决定后面的步骤的结构

　　流程图：

　　3.用自然语言表示算法与用流程图表示算法的.比较

　　(1)半径为r的圆的面积公式当r=10时写出计算圆的面积的算法，并画出流程图。

　　解：

　　算法(自然语言)

　　①把10赋与r

　　②用公式求s

　　③输出s

　　流程图

　　(2) 已知函数对于每输入一个X值都得到相应的函数值，写出算法并画流程图。

　　算法：(语言表示)

　　① 输入X值

　　②判断X的范围，若，用函数Y=x+1求函数值;否则用Y=2-x求函数值

　　③输出Y的值

　　流程图

　　小结：含有数学中需要分类讨论的或与分段函数有关的问题，均要用到选择结构。

　　学生观察、类比、说出流程图与自然语言对比有何特点?(直观、清楚、便于检查和交流)

　　(三)模仿操作经历课题

　　1.用流程图表示确定线段A.B的一个16等分点

　　2.分析讲解例2;

　　分析：

　　思考：有多少个选择结构?相应的流程图应如何表示?

　　流程图：

　　(四)归纳小结巩固课题

　　1.顺序结构和选择结构的模式是怎样的?

　　2.怎样用流程图表示算法。

　　(五)练习P99 2

　　(六)作业P99 1

　　高二数学教案篇11

　　教学目标

　　熟练掌握三角函数式的求值

　　教学重难点

　　熟练掌握三角函数式的求值

　　教学过程

　　【知识点精讲】

　　三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用,掌握公式的逆用和变形

　　三角函数式的求值的类型一般可分为:

　　(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角

　　(2)“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解

　　(3)“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。

　　(4)“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之

　　三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次

　　注意点：灵活角的变形和公式的变形

　　重视角的.范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论

　　【例题选讲】

　　课堂小结】

　　三角函数式的求值的关键是熟练掌握公式及应用,掌握公式的逆用和变形

　　三角函数式的求值的类型一般可分为:

　　(1)“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角

　　(2)“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解

　　(3)“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。

　　(4)“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之

　　三角函数式常用化简方法：切割化弦、高次化低次

　　注意点：灵活角的变形和公式的变形

　　重视角的范围对三角函数值的影响，对角的范围要讨论

　　高二数学教案篇12

　　（1）平面向量基本定理的内容是什么？

　　（2）如何定义平面向量基底？

　　（3）两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？

　　[新知初探]

　　1、平面向量基本定理

　　条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量

　　结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2

　　基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

　　[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是的；③基底不，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底。

　　2、向量的夹角

　　条件两个非零向量a和b

　　产生过程

　　作向量=a，=b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角

　　范围0°≤θ≤180°

　　特殊情况θ=0°a与b同向

　　θ=90°a与b垂直，记作a⊥b

　　θ=180°a与b反向

　　[点睛]当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°。

　　[小试身手]

　　1、判断下列命题是否正确。（正确的打“√”，错误的打“×”）

　　（1）任意两个向量都可以作为基底。（）

　　（2）一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底。（）

　　（3）零向量不可以作为基底中的`向量。（）

　　答案：（1）×（2）√（3）√

　　2、若向量a，b的夹角为30°，则向量—a，—b的夹角为（）

　　A、60°B、30°

　　C、120°D、150°

　　答案：B

　　3、设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（）

　　A、e1，e2B、e1+e2，3e1+3e2

　　C、e1，5e2D、e1，e1+e2

　　答案：B

　　4、在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，则向量，的夹角为XXXXXX。

　　答案：135°

　　用基底表示向量

　　[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线=a，=b，试用基底a，b表示，。

　　[解]法一：由题意知，==12=12a，==12=12b。

　　所以=+=—=12a—12b，

　　=+=12a+12b，

　　法二：设=x，=y，则==y，

　　又+=，—=，则x+y=a，y—x=b，

　　所以x=12a—12b，y=12a+12b，

　　即=12a—12b，=12a+12b。

　　用基底表示向量的方法

　　将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的性求解。

　　[活学活用]

　　如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC=3AD，=a，=b。试以a，b为基底表示。

　　解：∵AD∥BC，且AD=13BC，

　　∴=13=13b。

　　∵E为AD的中点，

　　∴==12=16b。

　　∵=12，∴=12b，

　　∴=++

　　=—16b—a+12b=13b—a，

　　=+=—16b+13b—a=16b—a，

　　=+=—（+）

　　=—（+）=—16b—a+12b

　　=a—23b。

　　高二数学教案篇13

　　第一课时

　　一、课题

　　10.1分析计数原理和分步计数原理（1）

　　二、教学目标

　　1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理

　　2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题

　　3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力

　　三、教学重、难点

　　1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．

　　2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．

　　四、教学方法

　　启发式教学法

　　五、教学手段

　　多媒体课件．

　　六、教学过程

　　1．新课导入

　　随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，使得商品生产工序复杂化，解决一件事常常有多种方法完成，或几个过程才能完成。

　　排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本原理，用好基本原理是排列组合的关键．

　　2．新课

　　我们先看下面两个问题．

　　(l)从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4班，汽车有 2班，轮船有 3班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

　　板书：图

　　因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每一种走法都可以从甲地到达乙地，因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 4十2十3=9种不同的走法．

　　一般地，有如下原理：

　　加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十?十mn种不同的方法．

　　(2) 我们再看下面的问题：

　　由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？

　　板书：图

　　这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又有2种不同的走法．因此，从A村经B村去C村共有 3X2=6种不同的走法．

　　一般地，有如下原理：

　　乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1 m2?mn种不同的方法．

　　例1 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书．

　　1）从中任取一本，有多少种不同的取法？

　　2）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？

　　解：（1）从书架上任取一本书，有两类办法：第一类办法是从上层取数学书，可以从6本书中任取一本，有6种方法；第二类办法是从下层取语文书，可以从5本书中任取一本，有5种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是6十5=11．

　　答：从书架L任取一本书，有11种不同的取法．

　　（2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一步取一本数学书，有6种方法；第二步取一本语文书，有5种方法．根据乘法原理，得到不同的取法的种数是 N＝6X5＝30．

　　答：从书架上取数学书与语文书各一本，有30种不同的方法．

　　练习：一同学有4枚明朝不同古币和6枚清朝不同古币

　　1）从中任取一枚，有多少种不同取法？2）从中任取明清古币各一枚，有多少种不同取法？

　　例2(1)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字允许重复三位数？

　　(2)由数字l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

　　(3)由数字0，l，2，3，4，5可以组成多少个数字不允许重复三位数？

　　解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，

　　这仍有5种选法，第三步确定个位上的数字，同理，它也有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是N=5X5X5=125．答：可以组成125个三位数．

　　练习：

　　1、从甲地到乙地有2条陆路可走，从乙地到丙地有3条陆路可走，又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走．

　　（1）从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？

　　（2）从甲地到丙地共有多少种不同的.走法？

　　2．一名儿童做加法游戏．在一个红口袋中装着2O张分别标有数1、2、?、19、20的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中装着10张分别标有数1、2、?、9、1O的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数作为加数．这名儿童一共可以列出多少个加法式子？

　　3．题2的变形

　　4．由0－9这10个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数

　　小结：要解决某个此类问题，首先要判断是分类，还是分步？分类时用加法，分步时用乘法

　　其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习

　　七、练习设计

　　1．（口答）一件工作可以用两种方法完成．有 5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成．选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？

　　2．在读书活动中，一个学生要从 2本科技书、 2本政治书、 3本文艺书里任选一本，共有多少种不同的选法？

　　3．乘积（a1+a2+a3）（b1+b2+b3+b4）（c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？

　　4．从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通．从甲地到丙地共有多少种不同的走法？

　　5．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．

　　（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？

　　（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

　　八、板书设计

　　九、教学反思

　　第二课时

　　一、课题

　　10.1分析计数原理和分步计数原理（2）

　　二、教学目标

　　1、知识传授目标：正确理解和掌握加法原理和乘法原理

　　2、能力培养目标：能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题

　　3、思想教育目标：发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力

　　三、教学重、难点

　　1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．

　　2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．

　　四、教学方法

　　启发式教学法

　　五、教学手段

　　多媒体课件．

　　六、教学过程

　　1. 由学生阅读引言，明确任务，激发兴趣.

　　由学生感兴趣的乒乓球比赛提出的问题引出学习本章的必要性，明确研究计数方法是本章内容的独特性，从应用的广泛看学好本章知识的重要性.

　　2. 学习理解分类计数原理

　　给出问题，配图分析，讲清坐火车与坐汽车两类办法均可，每类中任一种办法都可以独立的把从甲地到乙地这件事办好. 变式1：若甲地到乙地一天中还有4班轮船可乘，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同走法？变式2：若完成一件事，有n类办法.在第1类办法中有m1种不同办法，在第2类办法中有m2种不同方法，?? ，在第n类办法中有mn种不同方法，每一类中的每一种方法均可完成这件事，那么完成这件事共有多少种不同方法？

　　解答以上问题，水到渠成，顺着变式2的解，不难由学生归纳得出分类计数原理（又称办法原理）.

　　3. 学习理解分步计数原理

　　出示问题，配上插图，引导分析，组织讨论，强调分步.

　　可用多媒体配上不同颜色闪现六种不同走法.

　　由学生模仿分类计数原理归纳得出分步计数原理（又叫乘法原理）.

　　6. 讲解例1 讲解增例例：满足A引导学生分析解答，注意区分办法的分类与分步. ?B=?1,2?的集合A、B共有多少组？

　　?1,2?的子集：?，?1?，?1?，?1,2?，但不是随便两个子集搭配都行，本题尤如含A、B两元数的不定方

　　?1,2?得1组解；启发引导学生作出下列两种分析. 分析一：A、B均是程，其全部解分为四类： 1. 当A=?时，只有B=

　　2. 当A=

　　3. 当A=

　　4. 当A=?1?时，B=?2?或?1,2?，得2组解； ?2?时，B=?1?或?1,2?，得2组解 ?1,2?时，B=?或?1?或?2?或?1,2?，得4组解.

　　根据加法原理，共有1+2+2+4=9组解.

　　分析二：设A、B为两个“口袋”,需将两种元素(1或2)装入,任一元素至少装入一个袋中,分两步可办好此事:第1步装“1”,可装入A不可装入B,也可装入B不装A,还可以既装入A又装入B,有3种装法;第2步装“2”,同样有3种装法.根据乘法原理共得了3?3=9种装法,即原题共有9组解.

　　6.课堂练习

　　教科书第86页练习第1、2题,习题第1题.

　　7.知识小结

　　回顾两个原理内容,强调区别在于办事办法分类与分步.

　　七、练习设计

　　1. 教科书习题10.1第2题.

　　2. 各编一道用两个原理解答的问题并解答.

　　八、板书设计

　　九、教学反思

　　第三课时

　　一、课题

　　10.1分析计数原理和分步计数原理（3）

　　二、教学目标

　　1．进一步理解两个基本原理。

　　2．会运用两个基本原理分析解答简单的应用题。

　　三、教学重、难点

　　1.重点：加法原理，乘法原理。解决方法：利用简单的举例得到一般的结论．

　　2.难点：加法原理，乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们的异同．

　　四、教学方法

　　启发式教学法

　　五、教学手段

　　多媒体课件．

　　六、教学过程

　　1．两个基本原理是本章重要的基本理论，通过运用，进一步理解两个基本原理，进一步掌握分类思考与分步思考的方法。

　　2．运用两个基本原理时，应强调以下重点。

　　分类计数原理中的“做一件事，完成它可以有n类办法”，是对完成这件事的所有方法的一个分类。分类时，首先要根据问题的特点确定一个分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类，其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法。只有满足这些条件，才能用分类计数原理。分步计数原理中的“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，是指完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤。分布时，首先要根据问题的特点确定一个分布的标准，其次分步时还要注意满足完成一件事必须并且只需连续完成这n个步骤后这件事才算完成。只有满足这些条件，才能用分步计数原理。

　　这些思想观点，应在教学中向学生详细阐明。

　　1．理论复习

　　说说你对两个基本原理的理解。注：这样的问题，答对的标准比较宽松。只要学生解答对大概的主要的意思，就应表扬；不仅原理叙述准确，并且加上自己的正确的理解，更应当受到称赞。目的只有一个，重在理解。这符合素质教育的要求。

　　2．应用举例

　　（1）增例：平面上的直线l上的三点P1、P2、P3及l 外一点A，过这四点中的两点连直线，可连得多少条不同的直线？学生议论，形成共识：以直线过不过A点为分类标准，过A的3条，不过A的1条，由分类计数原理得可连不同的直线3+1=4条。

　　变式1：在1~20共20个整数中取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？

　　变式2：在1~20共20个整数中取两个数相加，使其和大于20的不同取法共有多少种？

　　注：取a+b与取b+a是同一种取法。

　　变式1思路：分类标准为两家数的奇偶性，第一类，偶偶相加，由分步计数原理得10×9=90种取法，第二类，奇奇相加，也有10×9=90种取法。根据分类计数原理共有90+90=180种不同取法。

　　变式2思路：分类标准一，固定小加数。小加数为1时，大加数只有20这1种取法；小加数为2时，大加数有19或20两种取法；小加数为3时，大加数为18，19或20有3种取法??小加数为10时，大加数为11，12，? ，20共10种取法；小加数为11时，大加数有9种取法?小加数取19时，大加数为1种取法。由分类计数原理，得不同取法共有1+2+?+9+10+9+?+2+1=100种。

　　分类标准二，固定和的值。有和为21，22，?，39，这几类，依次有取法10，9，9，8，8，?，2，2，1，1种。由分类计数原理得不同取法共有10+9+9+?+2+2+1+1=100种。

　　（2）指导学生阅读例2、例3，培养学生阅读理解能力。

　　组织学生议论这两例的共同点与不同点。

　　共同点：都要分布计数。

　　不同点：例2分四步，每步确定一个键盘上的数码，并且数码可重复使用；例3分两步，每步安排一个工人值班，第1步排定的工人，第2步不再排此人。

　　变式1：集合A={a,b,c}，B={1,2}，问A到B的不同映射f共有多少个？B到A的不同映射g共有多少个？

　　变式2：用数字1，2，3可写出多少个小于1000的正整数？

　　变式1思路：分3步，分别以a,b,c为原象，确定它们的象，f共有2×2×2=8个，同样g有3=9个。

　　变式2思路：有分类，又有分步。分类是一位数，二位数，三位数共三类，再分步确定各位上的数字，共可写正整数3+3+3=39个。

　　3．归纳小结

　　分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只完成做这件事的一个步骤，只有各个步骤中的方法都完成才算做完这件事。

　　注：本节安排了较多的应用问题，可用多媒体辅助教学，从出示问题，分析讨论，所给出解答。要注意从时间上保证分析和解决问题的实施，保证重点、难点的突破。

　　4．课堂练习

　　教科书第86页练习第3、4、5题，习题10.1第3、6题。

　　七、练习设计

　　教科书习题10.1第4、5题。

　　八、板书设计

　　九、教学反思

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