选择与规则（下）
按打分法，最后的抉择方案是Ｃ。但是，假定甲知道其他人的偏好，他便可能将全部分都给予Ａ，从而使得Ａ获胜。其他人也可能会采取类似的做法，并且完全有理由这样做。这正是投票策略的情况。另外，当一些人知道自己最赞成的方案不会当选时，便会转而将选票投给第二好的方案，以避免更坏的可能性发生。从理论上来看，一种投票规则对偏好强度越敏感，给策略行为提供的机会也就越大。策略行为的另一个方面是选票交易，在简单多数规则下，获胜的多数将得到的利益可能少于失败的少数而付出的代价。在这种情况下，少数人便可能试图进行选票交易，以防止这样的情形发生。这时的选票交易可能有两种情况：一是一些人贿赂另一些人，使他们投票赞成自己所赞成的方案。二是两个方面达成某种协议，在一类问题上甲方支持乙方，换取乙方在另一类问题上支持甲方。在这类交易不损害第三方的情况下，选票交易有助于增进帕累托有效性，因为显然只有当交易使有关各方至少一方获利，并且不损害任何一方时，它才能获得有关各方的赞同。选票交易有利于效率的提高，但是它却会引起高额的交易成本，并因此而使得政治过程复杂化，不利于民主政治，因此在政治上往往受到限制甚至禁止，宁可鼓励弃权，也不鼓励交易。三是无论是复数投票法还是打分投票法，虽然增加了解决投票悖论的可能性，但它们依然可能出现投票悖论。
四、单峰定理
阿罗的不可能定理表明，任何一种公共选择的投票方法均不可能完全解决投票悖论，因为任何公共选择规则都不可能满足他所提出的五项条件。根据许多学者的研究，偏好的单峰性是满足这五项条件的前提。如果对个人偏好形式加以适当的限制，就有可能改变偏好的多峰性，从而解决投票悖论。邓肯?布莱克由此提出了著名的单峰定理。他认为，通过对个人的偏好进行适当的限制，使其适合于某一种类型，则多数决策结果就满足可传递性假定。单峰定理就是如果投票者满足偏好的单峰性，并且投票者的数目是奇数，那么多数法将满足可传递性。
单峰的数学涵义是：设n个投票者的效用函数是U1 (X),…,Un (X),Ui (X)(i=1,…,n)定义在可供选择的社会状态的集合S上，那么在二维平面上，若将S标在横轴上，将Ui (X)(i=1,…,n)表在纵轴上，则至少存在S的一种排列，使得Ui (X)的几何图形均有一个高峰。
上面投票程序决定投票结果的做法实际上就是利用限制定义域的方式来使偏好具有单峰性。如对于A、B、C三个方案，可以先把偏好定义域限制在Ａ与Ｂ，两者相比Ｂ优于Ａ，具有单峰性；把定义域限制在Ｂ与Ｃ，两者相比Ｂ优于Ｃ；再把定义域限制在Ａ与Ｃ，两者相比Ｃ优于Ａ。这样多数决策的结果就满足可传递性条件，社会选择的偏好顺序将是Ｂ>Ｃ>Ａ。
单峰定理表明，在单峰型的偏好结构中，多数决策的结果是具有稳定性的。这就克服了投票悖论结果的不稳定性。不过单峰定理虽然创造了社会偏好的连续性，但违背了无限制定义域的假定。因此，在投票实践中，单峰定理也不过是在理论上给出了如何创造投票结果，而并未解决从个人偏好推导出集体偏好的问题。
不过布莱克的单峰定理依然是有意义的。因为它给出了从个人偏好推导出集体偏好的条件的
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